Теорема Жордана — Гельдера

Нехай $G$ буде групою, що має композиційний ряд. Тоді будь-які два композиційних ряди для $G$ мають однакову довжину. Більше того, якщо

{1} = G_{n} ◃ G_{n - 1} ◃ \dots ◃ G_{0} = G

і

{1} = H_{n} ◃ H_{n - 1} ◃ \dots ◃ G_{0} = G

це два композиційних ряди для $G,$ тоді існує перестановка $τ$ така, що $G_{i} / G_{i + 1} ≃ H_{τ (i)} / H_{τ (i) + 1} .$

Допоміжна лема

Нехай $G$ буде групою з композиційним рядом

{1} = G_{n} ◃ G_{n - 1} ◃ \dots ◃ G_{0} = G .

Тоді для будь-якої нормальної підгрупи $K$ групи $G,$ якщо ми видалимо дублікати з ряду

{1} = K \cap G_{n} ⊴ K \cap G_{n - 1} ⊴ \dots ⊴ K \cap G_{0} = K \cap K,

результатом буде композиційний ряд для $K$ завдовжки не більше ніж $n .$

Доведення

Нам потрібно довести, що $K \cap G_{i + 1} ◃ K \cap G_{i}$ і те, що $(K \cap G_{i}) / (K \cap G_{i + 1})$ проста для всіх $i .$

Нехай $x \in K \cap G_{i}$ і $g \in K \cap G_{i + 1} .$ Тоді $x g x^{- 1} \in K$ оскільки згідно з припущенням $K$ нормальна в $G .$ Також $x g x^{- 1} \in G_{i + 1}$ оскільки $G_{i + 1} ◃ G_{i} .$ Отже, $x g x^{- 1} \in K \cap G_{i + 1},$ що доводить те, що $K \cap G_{i + 1} ◃ K \cap G_{i} .$

Тепер розглянемо фактор-групу $(K \cap G_{i}) / (K \cap G_{i + 1}) .$ Оскільки $G_{i} / G_{i + 1}$ проста, то $G_{i + 1}$ максимальна нормальна підгрупа $G_{i},$ тому єдиними нормальними підгрупами $G_{i},$ які містять $G_{i + 1}$ є $G_{i + 1}$ і $G_{i} .$

Згадаймо, що $K \cap G_{i}$ нормальна в $G_{i}$ (це ядро канонічної проєкції $G$ на $G / K$ обмеженої $G_{i}$ ), так що маємо

G_{i + 1} ◃ (K \cap G_{i}) G_{i + 1} ◃ G_{i} .

Перше нормальне включення, дає що для $k g \in (K \cap G_{i}) G_{i + 1}$ маємо

k g G_{i + 1} g^{- 1} k^{- 1} = k G_{i + 1} k^{- 1} \subseteq G_{i + 1}

оскільки $k \in G_{i},$ а $G_{i + 1}$ нормальна в $G_{i} .$ Для другого нормального включення, $g \in G_{i}$

g (K \cap G_{i}) G_{i + 1} g^{- 1} = (K \cap G_{i}) g G_{i + 1} g^{- 1}

оскільки $K \cap G_{i}$ нормальна в $G_{i}$ і

(K \cap G_{i}) g G_{i + 1} g^{- 1} \subseteq (K \cap G_{i}) G_{i + 1}

оскільки $G_{i + 1} ◃ G_{i} .$

Отже, або $G_{i + 1} = (K \cap G_{i}) G_{i + 1},$ або $(K \cap G_{i}) G_{i + 1} = G_{i} .$ Використовуючи другу теорему про ізоморфізми

(K \cap G_{i}) G_{i + 1} / G_{i + 1} ≃ (K \cap G_{i}) / (K \cap G_{i} \cap G_{i + 1}) = (K \cap G_{i}) / (K \cap G_{i + 1}) .

Тут ми бачимо, що якщо $G_{i + 1} = (K \cap G_{i}) G_{i + 1},$ то $K \cap G_{i} = K \cap G_{i + 1}$ і нам треба вилучити дублікат. Якщо ж $(K \cap G_{i}) G_{i + 1} = G_{i},$ то $(K \cap G_{i}) / (K \cap G_{i + 1})$ — проста.

Доведення

Доведення буде за індукцією на довжину композиційного ряду. Припустимо, що $G$ має композиційний ряд довжини 1. Тоді субнормальний ряд

G ▹ {1}

не можна уточнити, отже, це мусить бути композиційний ряд. Зокрема, $G ≃ G / {1}$ — проста. Це єдиний можливий композиційний ряд для $G$ і всі твердження дотримані для довжини 1.

Припустимо, що $n > 1$ і, що твердження теореми дотримуються для композиційних рядів завдовжки до $n - 1 .$ Нехай $G$ буде групою з композиційним рядом завдовжки $n,$ скажімо

{1} = G_{n} ◃ G_{n - 1} ◃ \dots ◃ G_{0} = G

(при цьому $G_{i} \neq G_{i + 1}$ для кожного $i) .$ Тепер припустимо, що існує інший композиційний ряд для $G$ (знов $H_{i} \neq H_{i + 1})$

{1} = H_{m} ◃ H_{m - 1} ◃ \dots ◃ H_{0} = G .

Спочатку нам потрібно показати, що $m = n$ після чого ми обговоримо єдиність декомпозиції.

(Доведення, що $m = n) .$ Ідея доведення така: щоб використаємо індукційну гіпотезу нам потрібно мати композиційні ряди завдовжки менше ніж $n .$ Спершу ми виключимо випадок коли $G_{1} = H_{1},$ тоді обчислимо композиційні ряди завдовжки $n - 2$ для $H_{1} \cap G_{1} .$ Після цього ми використаємо другий композиційний ряд $G,$ щоб отримати інший композиційний ряд для $H_{1} \cap G_{1}$ чия довжина залежатиме від $m$ і ми зможемо порівняти її з вже відомою нам.

Якщо $G_{1} = H_{1},$ тоді ми застосовуємо індукційну гіпотезу до $G_{1},$ маємо $n - 1 = m - 1$ і підхожу перестановку $τ$ для $n - 1$ факторів, і тут ми завершили.

Припустимо, що $G_{1} \neq H_{1} .$ Оскільки обидві $G_{1}$ і $H_{1}$ є максимальними нормальними в $G,$ ми бачимо, що $G_{1} ◃ G_{1} H_{1} ◃ G$ з $G_{1} \neq G_{1} H_{1}$ тому, що згідно з припущенням $G_{1} \neq H_{1} .$ З цього $G_{1} H_{1} = G,$ застосовуючи другу теорему про ізоморфізми, приходимо до висновку, що

G_{1} H_{1} / H_{1} ≃ G / H_{1} ≃ G_{1} / (G_{1} \cap H_{1}) .

Оскільки $G / H_{1}$ — проста, отримуємо, що $G_{1} / (G_{1} \cap H_{1})$ також проста. Тепер, відповідно до леми вище, по видаленні дублікатів з ряду

{1} = H_{1} \cap G_{n} ⊴ \dots ⊴ H_{1} \cap G_{0} = H_{1},

отримуємо композиційний ряд для $H_{1}$ завдовжки не більше ніж $n$ і

{1} = H_{1} \cap G_{n} ⊴ \dots ⊴ H_{1} \cap G_{1}

це композиційний ряд для $H_{1} \cap G_{1}$ не довший ніж $n - 1 .$ Оскільки $G_{1} / (G_{1} \cap H_{1})$ проста, то після видалення дублікатів

{1} = H_{1} \cap G_{n} ⊴ \dots ⊴ H_{1} \cap G_{1} ◃ G_{1}

це композиційний ряд для $G_{1} .$ Але тоді

G_{1} ▹ G_{2} ▹ \dots ▹ G_{n} = {1}

і

G_{1} ▹ H_{1} \cap G_{1} ⊵ H_{1} \cap G_{2} ⊵ \dots ⊵ H_{1} \cap G_{n} = {1}

обидва є композиційними рядами для $G_{1},$ і перший з них завдовжки $n - 1 .$ Згідно з індукційною гіпотезою обидва ряди мають однакову довжину. Оскільки $G_{1} \neq G_{1} \cap H_{1}$ (згадаємо, що ми припустили, що $G_{1} \neq H_{1}),$ дублювання має бути десь далі в ряду. Нехай

G_{1} = K_{1} ▹ K_{2} = H_{1} \cap G_{1} ▹ K_{3} ▹ \dots ▹ K_{n} = {1}

позначає композиційний ряд для $G_{1}$ завдовжки $n - 1,$ з уже видаленими дублікатами. Згідно з гіпотезою, існує перестановка $α$ така, що $G_{i} / G_{i + 1} ≃ K_{α (i)} / K_{α (i) + 1}$ для кожного $i = 1, \dots n - 1 .$ Множина $α$ не пересуває індекс 0, тоді

G = G_{0} ▹ G_{1} ▹ G_{2} ▹ \dots ▹ G_{n} = {1}

і

G = K_{0} ▹ G_{1} = K_{1} ▹ K_{2} = H_{1} \cap G_{1} ▹ K_{3} ▹ \dots ▹ K_{n} = {1}

композиційні ряди завдовжки $n$ для $G$ і $α$ — це перестановка така, що $G_{i} / G_{i + 1} ≃ K_{α (i)} / K_{α (i) + 1}$ для кожного $i = 1, \dots, n - 1 .$ Більше того, ми знайшли композиційний ряд для $H_{1} \cap G_{1}$ завдовжки $n - 2 .$

Давайте тепер проведемо подібні ж розрахунки для композиційного ряду

G = H_{0} ▹ H_{1} ▹ \dots ▹ H_{m} = {1}

і нормальної підгрупи $G_{1}$ в $G .$ Знов, згідно з лемою вище, після видалення дублікатів із ряду

G_{1} = H_{0} \cap G_{1} ⊵ H_{1} \cap G_{1} ⊵ \dots ⊵ H_{m} \cap G_{1} = {1}

отримуємо композиційний ряд для $G_{1}$ такий, що після видалення дублікатів

H_{1} \cap G_{1} ⊵ \dots ⊵ H_{m} \cap G_{1} = {1}

дає нам композиційний ряд для $H_{1} \cap G_{1} .$ Тепер, оскільки $H_{1} \cap G_{1}$ має композиційний ряд завдовжки $n - 2,$ а саме

K_{2} = H_{1} \cap G_{1} ▹ \dots ▹ K_{n} = {1},

ми застосовуємо індукційну гіпотезу до $H_{1} \cap G_{1},$ щоб дійти висновку, що всі композиційні ряди для $H_{1} \cap G_{1}$ мають довжину $n - 2,$ і тому попередній ряд

H_{1} \cap G_{1} ⊵ \dots ⊵ H_{m} \cap G_{1} = {1}

після видалення дублікатів також завдовжки $n - 2 .$

Оскільки з другої теореми про ізоморфізми ми знаємо, що $H_{1} / (G_{1} \cap H_{1}) ≃ H_{1} G_{1} / G_{1} = G_{0} / G_{1},$ яка є простою групою, маємо, що $H_{1} / (H_{1} \cap G_{1})$ — проста. Отже, після видалення дублікатів з

H_{1} ▹ H_{1} \cap G_{1} ⊵ \dots ⊵ H_{m} \cap G_{1} = {1}

дає нам композиційний ряд для $H_{1}$ завдовжки $n - 1$ (ми додали $H_{1}$ до композиційного ряду для $H_{1} \cap G_{1}$ завдовжки $n - 2) .$ Також

H_{1} ▹ H_{2} ▹ \dots ▹ H_{m} = {1}

це інший композиційний ряд для $H_{1} .$ Оскільки перший ряд завдовжки $n - 1,$ то згідно з індукційною гіпотезою, другий ряд мусить мати довжину $n - 1 .$ З того, що його довжина $m - 1,$ випливає, що $m = n .$

(Єдиність композиційних факторів). Знов, згідно з індукційною гіпотезою застосованою до $H_{1},$ маємо перестановку $β$ з $n - 1$ композиційних факторів (яку можна розширити до $n$ факторів встановивши $β (0) = 0 .$ А саме, нехай $L_{i}, i = 1, 2, \dots, n$ позначає відмінні елементи ряду

H_{1} ▹ H_{1} \cap G_{1} ▹ H_{2} \cap G_{1} ▹ \dots ▹ H_{n} \cap G_{1} = {1}

так, що $L_{1} = H_{1}$ і $L_{2} = H_{1} \cap G_{1} .$ Тоді ми маємо композиційний ряд

G = H_{0} ▹ H_{1} ▹ \dots ▹ H_{m} = {1}

завдовжки $n$ для $G$ і існує перестановка $β$ для ${0, 1, \dots, n - 1}$ така, що $H_{i} / H_{i + 1} ≃ L_{β (i)} / L_{β (i) + 1}$ для кожного $i = 0, 1, \dots, n - 1 .$

Ми майже на місці, але насправді нам потрібен ізоморфізм між $H_{i} / H_{i + 1}$ і $G_{β (i)} / G_{β (i) + 1},$ а не між $H_{i} / H_{i + 1}$ і $L_{β (i)} / L_{β (i) + 1} .$ Ми згадаємо, що вже маємо перестановку $α$ таку, що $G_{i} / G_{i + 1} ≃ K_{α (i)} / K_{α (i) + 1} .$ Отже, нам достатньо знайти таку між $L_{i} / L_{i + 1}$ і $K_{i} / K_{i + 1} .$

Нарешті, оскільки $K_{2} = L_{2} = H_{1} \cap G_{1},$ ми маємо два композиційні ряди для $G :$

\begin{matrix} G ▹ & G_{1} ▹ & H_{1} \cap G_{1} ▹ & K_{3} ▹ & \dots & K_{n - 1} ▹ & K_{n} = {1} \\ G ▹ & H_{1} ▹ & H_{1} \cap G_{1} ▹ & L_{3} ▹ & \dots & L_{n - 1} ▹ & L_{n} = {1} . \end{matrix}

Ми можемо застосувати індукційну гіпотезу до $H_{1} \cap G_{1},$ щоб довести існування перестановки $γ$ для ${2, 3, \dots, n - 1}$ такої, що для кожного $i$ з цієї множини ми маємо $K_{i} / K_{i + 1} ≃ L_{γ (i)} / L_{γ (i) + 1} .$ ми вже бачили, що $G / G_{1} ≃ H_{1} (H_{1} \cap G_{1})$ і $G / H_{1} ≃ G_{1} / (H_{1} \cap G_{1}),$ отже ми можемо розширити перестановку $γ$ на ${0, 1, \dots, n - 1}$ встановивши $γ (0) = 1$ і $γ (1) = 0 .$ Тоді, оскільки

K_{0} = G = L_{0}, K_{1} = G_{1}, L_{1} = H_{1}, K_{2} = L_{2} = H_{1} \cap G_{1},

маємо

K_{i} / K_{i + 1} ≃ L_{γ (i)} / L_{γ (i) + 1}, i = 0, \dots, n - 1 .

У підсумку, маємо $m = n$ і для $τ = β^{- 1} γ α,$ маємо

G_{i} / G_{i + 1} ≃ H_{τ (i)} / H_{τ (i) + 1}, i = 0, \dots, n - 1 .

Що і треба було довести.

Приклад

Циклічна група $C_{12}$ має три композиційні ряди

C_{1} ◃ C_{2} ◃ C_{6} ◃ C_{12}, C_{1} ◃ C_{2} ◃ C_{4} ◃ C_{12}, C_{1} ◃ C_{3} ◃ C_{6} ◃ C_{12}

і всі вони мають однакову довжину. Також, отримуємо такі фактор-групи

{C_{2}, C_{3}, C_{2}}, {C_{2}, C_{2}, C_{3}}, {C_{3}, C_{2}, C_{2}}

які дійсно однакові з точністю до перестановки.

Джерела

Теорема Жордана — Гельдера

Зміст

Допоміжна лема

Доведення

Доведення

Приклад

Джерела

Навігаційне меню

Теорема Жордана — Гельдера

Допоміжна лема

Доведення

Доведення

Приклад

Джерела

Навігаційне меню

Пошук