Ізоморфізм груп

Ізоморфі́зм груп — бієктивний гомоморфізм груп.

Визначення

Ізоморфізм груп — взаємно однозначне відображення $ϕ$ групи $(G, *)$ в групу $(H, \cdot)$ , що зберігає групову операцію, тобто:

ϕ : G \to H : ϕ (x * y) = ϕ (x) \cdot ϕ (y) \forall 𝑥, 𝑦 \in G

.

Ізоморфні групи у певному сенсі є еквівалентними.

Група лінійних операторів та група матриць, що відповідають цим операторам за фіксації певного базису, є ізоморфними.

(ℝ, +) ≅ (ℝ^{+}, \times)

через ізоморфізм $f (x) = e^{x}$ (див. експонента).

Автоморфізм групи — ізоморфізм групи $(G, *)$ в себе. Тобто бієкція

ϕ : G \to G : ϕ (x * y) = ϕ (x) * ϕ (y) \forall 𝑥, 𝑦 \in G

.

Автоморфізм групи називається внутрішнім, якщо його можна задати як

\exists a \in G \forall x \in G : ϕ (x) = a * x * a^{- 1}

.

Не внутрішній автоморфізм називають зовнішнім автоморфізмом.

Автоморфізм завжди переводить одиницю групи в себе ж.
Композиція двох автоморфізмів є автоморфізмом. Множина всіх автоморфізмів $G$ , відносно композиції утворює групу — групу автоморфізмів $G$ , позначається — $Aut (G)$ .
Множина всіх внутрішніх автоморфізмів є нормальною підгрупою в $Aut (G)$ , і позначається — $Inn (G)$ .
Фактор-група $Aut (G) / Inn (G)$ називається групою зовнішніх автоморфізмів, і позначається — $Out (G)$ .