Обертова система відліку

Оберто́ва систе́ма ві́дліку — це особливий випадок неінерційної системи відліку, яка обертається щодо інерційної системи відліку. Повсякденним прикладом обертової системи відліку є поверхня Землі.

Сили інерції

Шаблон:Main Неінерційна система відліку проявляє фіктивні сили. Обертова система відліку характеризується трьома такими силами:

• відцентрова сила,
• сила Коріоліса,

і, для нерівномірно обертових систем відліку,

• сила Ейлера.

Зіставлення обертових систем до стаціонарних систем

Наступне це виведення формул для прискорення а також фіктивних сил в обертовій системі відліку. Спочатку розглядаємо зв'язок між координатами частинки в обертовій системі відліку та її координатами в інерційній (стаціонарній) системі відліку. Тоді, беручі похідну, отримуємо формули, які пов'язують швидкість частинки, що спостерігається у цих системах відліку, і прискорення стосовно двох систем відліку. Використовуючи прискорення, через порівняння другого закону Ньютона сформульованого в обох системах відліку визначаємо фіктивні сили.

Зв'язок між позиціями в обох системах відліку

Для отримання сил інерції корисно вміти конвертувати координати $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ обертової системи відліку у координати $(x,y,z)$ інерційної системи відліку з тим самим початком координат і навпаки. Якщо обертання відбувається щодо осі $z$ з кутовою швидкістю $\mathrm{\Omega }$ і дві системи збігаються у час $t=0$, перетворення з обертових координат у інерційні координати можна записати як:

$x=x^{\prime }\cos (\theta (t))-y^{\prime }\sin (\theta (t))$

$y=x^{\prime }\sin (\theta (t))+y^{\prime }\cos (\theta (t))$

тоді як зворотнє перетворення

$x^{\prime }=x\cos (-\theta (t))-y\sin (-\theta (t))$

$y^{\prime }=x\sin (-\theta (t))+y\cos (-\theta (t))$

Результат можна отримати з матриці повороту.

Введемо одиничні вектори $\hat{\mathit{ı}},\hat{\mathit{ȷ}},\widehat{𝒌},$ що представлятимуть стандартні одиничні базисні вектори обертової системи відліку. Далі знайдемо часову похідну цих одиничних векторів у обертовій системі відліку. Припустимо, що системи відліку вирівняні в час t = 0 і z-вісь є віссю обертання. Тоді для обертання проти годинникової стрілки на кут Ωt:

$\hat{\mathit{ı}}(t)=(\cos \theta (t),\sin \theta (t))$

де (x, y) компоненти виражені у стаціонарну систему відліку. Так само,

$\hat{\mathit{ȷ}}(t)=(-\sin \theta (t),\cos \theta (t)).$

Отже, часова похідна цих векторів, що обертаються без зміни величини, становить

$\frac{d}{dt}\hat{\mathit{ı}}(t)=\mathrm{\Omega }(-\sin \theta (t),\cos \theta (t))=\mathrm{\Omega }\hat{\mathit{ȷ}};$

$\frac{d}{dt}\hat{\mathit{ȷ}}(t)=\mathrm{\Omega }(-\cos \theta (t),-\sin \theta (t))=-\mathrm{\Omega }\hat{\mathit{ı}},$

де $\mathrm{\Omega }\equiv \frac{d}{dt}\theta (t)$. Цей результат також можна отримати через векторний добуток з вектором обертання $\mathrm{\Omega },$ який спрямований уздовж осі обертання $z,$ $\mathrm{\Omega }=(0,0,\mathrm{\Omega })$, а саме,

$\frac{d}{dt}\widehat{𝒖}=\mathrm{\Omega }\mathit{\times }\widehat{𝒖},$

де $\widehat{𝒖}$ це або $\hat{\mathit{ı}},$ або $\hat{\mathit{ȷ}}$.

Часові похідні в двох системах відліку

Ми ввели вектори $\hat{\mathit{ı}},\hat{\mathit{ȷ}},\widehat{𝒌},$ які представляють стандартні одиничні базисні вектори в обертовій системі відліку. По мірі обертання вони залишатимуться нормалізованими. Якщо ми дозволимо їм обертатись зі швидкістю $\mathrm{\Omega }$ щодо осі $\mathrm{\Omega },$ тоді кожен одиничний вектор $\widehat{𝒖}$ обертової системи відліку кориться такому рівнянню:

$\frac{d}{dt}\widehat{𝒖}=\mathrm{\Omega }\mathit{\times }\widehat{𝒖}.$

Далі, якщо ми маємо вектор-функцію $𝒇$,

$𝒇(t)=f_x(t)\hat{\mathit{ı}}+f_y(t)\hat{\mathit{ȷ}}+f_z(t)\widehat{𝒌},$

і ми хочемо дослідити її першу похідну, то ми отримуємо (використовуючи правило добутку):

$\frac{d}{dt}𝒇=\frac{d{f}_x}{dt}\hat{\mathit{ı}}+\frac{d\hat{\mathit{ı}}}{dt}{f}_x+\frac{d{f}_y}{dt}\hat{\mathit{ȷ}}+\frac{d\hat{\mathit{ȷ}}}{dt}{f}_y+\frac{d{f}_z}{dt}\widehat{𝒌}+\frac{d\widehat{𝒌}}{dt}{f}_z$

$=\frac{d{f}_x}{dt}\hat{\mathit{ı}}+\frac{d{f}_y}{dt}\hat{\mathit{ȷ}}+\frac{d{f}_z}{dt}\widehat{𝒌}+[\mathrm{\Omega }\mathit{\times }(f_x\hat{\mathit{ı}}+f_y\hat{\mathit{ȷ}}+f_z\widehat{𝒌})]$

$={\left(\frac{d𝒇}{dt}\right)}_r+\mathrm{\Omega }\mathit{\times }𝒇(t),$

де ${\left(\frac{d𝒇}{dt}\right)}_r$ є швидкістю зміни $𝒇$, як це видно з обертової системи координат. Скорочено диференціювання можна виразити як:

$\frac{d}{dt}𝒇=[{\left(\frac{d}{dt}\right)}_r+\mathrm{\Omega }\mathit{\times }]𝒇.$

Цей результат відомий як транспортна теорема у аналітичній динаміці і також іноді згадувана як базове кінематичне рівняння.

Зв'язок між векторами швидкостей в двох системах відліку

Вектор швидкості об'єкта це часова похідна позиції об'єкта або

$𝐯\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{d𝐫}{dt}$

Часова похідна позиції $𝒓(t)$ в обертовій системі відліку має дві складові, одну з явної залежності внаслідок руху самої частинки, другу з власного обертання системи відліку. Застосовуючи результат попереднього підрозділу до зміщення $𝒓(t)$, швидкості у двох системах відліку пов'язані таким рівнянням

${𝐯}_{𝐢}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{d𝐫}{dt}={\left(\frac{d𝐫}{dt}\right)}_{\mathrm{r}}+\mathrm{\Omega }\times 𝐫={𝐯}_{\mathrm{r}}+\mathrm{\Omega }\times 𝐫,$

де індекс i позначає інерційну систему відліку, а r — обертову систему відліку.

Зв'язок між прискореннями у двох системах відліку

Прискорення є другою похідною по часу від позиції або перша похідна по часу від швидкості

${𝐚}_{\mathrm{i}}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\left(\frac{d^2𝐫}{d{t}^2}\right)}_{\mathrm{i}}={\left(\frac{d𝐯}{dt}\right)}_{\mathrm{i}}=[{\left(\frac{d}{dt}\right)}_{\mathrm{r}}+\mathrm{\Omega }\times ][{\left(\frac{d𝐫}{dt}\right)}_{\mathrm{r}}+\mathrm{\Omega }\times 𝐫],$

де індекс i позначає інерційну систему відліку. Виконавши диференціювання і перестановку деяких членів дає нам прискорення в обертовій системі відліку

${𝐚}_{\mathrm{r}}={𝐚}_{\mathrm{i}}-2\mathrm{\Omega }\times {𝐯}_{\mathrm{r}}-\mathrm{\Omega }\times (\mathrm{\Omega }\times 𝐫)-\frac{d\mathrm{\Omega }}{dt}\times 𝐫$

де ${𝐚}_{\mathrm{r}}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\left(\frac{d^2𝐫}{d{t}^2}\right)}_{\mathrm{r}}$ — це видиме прискорення в обертовій системі відліку, доданок $-\mathrm{\Omega }\times (\mathrm{\Omega }\times 𝐫)$ представляє відцентрове прискорення, а доданок $-2\mathrm{\Omega }\times {𝐯}_{\mathrm{r}}$ — це коріолісове прискорення.