Квадратний корінь матриці

Квадратний корінь матриці — матрична функція, є розширенням поняття квадратного кореня з чисел на матриці.

Матриця $𝐁$ є коренем матриці $𝐀$ якщо добуток матриць $𝐁𝐁$ рівний $𝐀$.

Властивості

В загальному випадку квадратна матриця може мати декілька коренів. Наприклад, матриця $\left(\begin{array}{cc}33& 24\\ 48& 57\end{array}\right)$ має корені $\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 8& 5\end{array}\right)$ та $\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 4& 7\end{array}\right)$.

Одинична матриця $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ має нескінченно багато симетричних раціональних квадратних коренів виду:

$\frac{1}{t}\left(\begin{array}{cc}s& r\\ r& -s\end{array}\right),$

де $(r,s,t)$ — піфагорові трійки, тобто, натуральні числа для яких виконується $r^2+s^2=t^2$.

Хоча невід’ємноозначена матриця розміру n×n завжди має рівно один корінь, який називається арифметичним квадратним коренем, всього в неї 2ⁿ коренів.

Розклавши таку матрицю за власними векторами, отримаємо $𝐕𝐃{𝐕}^{\mathbf{-}\mathrm{𝟏}},$ де $𝐃$ — діагональна матриця з власними значеннями ${\lambda }_i\ge 0$. Отже квадратним коренем буде матриця $𝐕{𝐃}^{\frac{1}{2}}{𝐕}^{\mathbf{-}\mathrm{𝟏}},$ де ${𝐃}^{\frac{1}{2}}$ — діагональна матриця з елементами $\pm \sqrt{{\lambda }_i}$ на діагоналі.

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Ланкастер.Теорія матриць
• Шаблон:Хорн.Джонсон.Матричний аналіз