Десятковий логарифм

Шаблон:Unibox Десятковий логарифм — логарифм з основою 10. Десятковий логарифм числа $b$ є розв'язком рівняння $10^x=b.$

Десятковий логарифм числа $b$ існує, якщо $b>0.$ Позначається $\lg b$ (специфікація ISO 31-11).

Приклади:

$\lg 1=0,\lg 10=1,\lg 100=2$

$\lg 1000000=6,\lg 0,1=-1,\lg 0,001=-3$

У зарубіжній літературі, а також на клавіатурі калькуляторів зустрічаються й інші позначення десяткового логарифма:$\log ,\mathrm{Log},\mathrm{Log10}$, причому слід мати на увазі, що перші 2 варіанти можуть відноситися і до натурального логарифма.

Алгебраїчні властивості

У нижченаведеній таблиці передбачається, що всі значення позитивні Шаблон:Sfn:

	Формула	Приклад
Добуток	$\lg (xy)=\lg (x)+\lg (y)$	$\lg (10000)=\lg (100\cdot 100)=\lg (100)+\lg (100)=2+2=4$
Частка від ділення	$\lg \left(\frac{x}{y}\right)=\lg (x)-\lg (y)$	$\lg \left(\frac{1}{1000}\right)=\lg (1)-\lg (1000)=0-3=-3$
Степінь	$\lg (x^p)=p\lg (x)$	$\lg (10000000)=\lg (10^7)=7\lg (10)=7$
Корінь	$\lg \sqrt[p]{x}=\frac{\lg (x)}{p}$	$\lg \sqrt{1000}=\frac{1}{2}\lg 1000=\frac{3}{2}=1,5$

Існує очевидне узагальнення наведених формул на випадок, коли допускаються негативні змінні, наприклад:

$\lg |xy|=\lg (|x|)+\lg (|y|),$

$\lg \left|\frac{x}{y}\right|=\lg (|x|)-\lg (|y|),$

Формула для логарифма добутку легко узагальнюється на довільну кількість співмножників:

$\lg (x_1{x}_2\dots x_n)=\lg (x_1)+\lg (x_2)+\dots +\lg (x_n)$

Вищеописані властивості пояснюють, чому застосування логарифмів (до винаходу калькуляторів) істотно полегшувало обчислення. Наприклад, множення багатозначних чисел $x,y$ за допомогою логарифмічних таблиць Шаблон:Перехід вироблялося за наступним алгоритмом:

1. Знайти в таблицях логарифми чисел $x,y$.
2. Скласти ці логарифми, отримуючи (відповідно до першої властивості) логарифм добутку $x\cdot y$.
3. За логарифмом добутку знайти в таблицях сам добуток.

Ділення, яке без допомоги логарифмів набагато трудомісткіше, ніж множення, виконувалося за тим же алгоритмом, лише із заміною складання логарифмів — відніманням. Аналогічно здійснювалися піднесення до степеня і знаходження кореня.

Зв'язок десяткового і натурального логарифмів Шаблон:Sfn:

$\ln x\approx 2,30259\lg x;\lg x\approx 0,43429\ln x$

Знак логарифма залежить від логарифмуємого числа: якщо воно більше 1, логарифм позитивний, якщо воно між 0 і 1, то від'ємний. Приклад:

$\lg 0,012=\lg (10^{-2}\times 1,2)=-2+\lg 1,2\approx -2+0,079181=-1,920819$

Щоб уніфікувати дії з позитивними і негативними логарифмами, в останніх ціла частина (характеристика) надкреслюється зверху:

$\lg 0,012\approx -2+0,079181=\overline{2},079181$

Мантиса логарифма, обрана з таблиць, при такому підході завжди позитивна.

Функція десяткового логарифма

Якщо розглядати логарифмуєме число як змінну, ми отримаємо функцію десяткового логарифма: $y=\lg x.$. Вона визначена при всіх $x>0.$ Область значень: $E(y)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$. Графік цієї кривої часто називається логарифмікою.

Функція монотонно зростає, неперервна і диференційована усюди, де вона визначена. Похідна для неї знаходиться за формулою:

$\frac{d}{dx}\lg x=\frac{\lg e}{x}$

Вісь ординат $(x=0)$ є лівою вертикальною асимптотою, оскільки:

$\underset{x\to 0+0}{\lim }\lg x=-\mathrm{\infty }$

Застосування

Десяткова логарифмічна шкала на логарифмічній лінійці

Логарифми за основою 10 до винаходу в 1970-і роки компактних електронних калькуляторів широко застосовувалися для обчислень. Як і будь-які інші логарифми, вони дозволяли багаторазово спростити і полегшити трудомісткі розрахунки, замінюючи множення на додавання, а ділення на віднімання; аналогічно спрощувались піднесення до степеня і знаходження кореня. Але десяткові логарифми мали перевагу перед логарифмами за іншою основою: цілу частину $L$ логарифма числа $x$ (характеристику логарифма) легко визначити.

• Якщо $x>1,$ то $L$ на 1 менше числа цифр в цілій частині числа $x$. Наприклад, відразу очевидно, що lg 345 знаходиться в проміжку (2, 3).
• Якщо $x<1,$ то найближче до $L$ ціле (в меншу сторону) дорівнює загальній кількості нулів в $x$ перед першою ненульовий цифрою, взятому зі знаком мінус. Наприклад, lg 0,0014 знаходиться в інтервалі (-3, -2).

Крім того, при перенесенні десяткової коми в числі на $n$ розрядів значення десяткового логарифма цього числа змінюється на $n.$ Наприклад:

$\lg 8314,63=\lg 8,31463+3$

Звідси випливає, що досить скласти таблицю мантис (дробових частин) десяткових логарифмів для чисел в діапазоні від 1 до 10. Такі таблиці, починаючи з XVII століття, випускалися великим тиражем і служили незамінним розрахунковим інструментом вчених та інженерів.

Оскільки застосування логарифмів для розрахунків з появою обчислювальної техніки майже припинилося, в наші дні десятковий логарифм в значній мірі витіснений натуральним Шаблон:Sfn. Він зберігається в основному в тих математичних моделях, де історично вкоренився — наприклад, при побудові логарифмічних шкал.

Десяткові логарифми для чисел виду 5 × 10ⁿ

Число	логарифм	характеристика	мантиса	запис
n	lg(n)	C = floor(lg(n))	M = (lg(n) − характеристика)
5 000 000	6.698 970…	6	0.698 970…	6.698 970…
50	1.698 970…	1	0.698 970…	1.698 970…
5	0.698 970…	0	0.698 970…	0.698 970…
0.5	−0.301 029…	−1	0.698 970…	Шаблон:Overline.698 970…
0.000 005	−5.301 029…	−6	0.698 970…	Шаблон:Overline.698 970…

Зверніть увагу, що у всіх наведених у таблиці чисел одна і та ж мантиса.

Історія

Шаблон:Докладніше Перші таблиці десяткових логарифмів опублікував в 1617 році оксфордський професор математики Генрі Бріґґз для чисел від 1 до 1000, з вісьмома (пізніше — з чотирнадцятьма) знаками. Тому за кордоном десяткові логарифми часто називають брігсовимі. Але в цих і в наступних виданнях таблиць виявилися помилки. Перше безпомилкове видання на основі таблиць Георга Веги (1783) з'явилося тільки в 1857 в Берліні (таблиці Бремікера, Carl Bremiker) Шаблон:Sfn.

У Росії перші таблиці логарифмів були видані в 1703 році за участю Л. П. Магницького. У СРСР випускалися кілька збірок таблиць логарифмів:

1. Брадис В. М. Чотиризначні математичні таблиці. Шаблон:М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблиці Брадіса, що видаються з 1921 року, використовувалися в навчальних закладах та в інженерних розрахунках, що не вимагають великої точності. Вони містили мантиси десяткових логарифмів чисел і тригонометричних функцій, натуральні логарифми і деякі інші корисні розрахункові інструменти.
2. Вега Г. Таблиці семизначних логарифмів, 4-е видання, Шаблон:М.: Надра, 1971. Професійний збірник для точних обчислень.

Джерела

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — изд. 25-е. — М.: Наука, 1978. — ISBN 5-17-009554-6.
• Шаблон:Корн.Корн.Справочник