Прогин (техніка)

Схематичне зображення деформації згину навантаженої балки на двох опорах

Проги́н в техніці (Шаблон:Lang-en) — вертикальне переміщення точки, що лежить на осі балки (арки, рами тощо) або на серединній поверхні оболонки (пластини), через деформацію, спричинену різними зовнішніми чинниками.

За величиною найбільшого прогину визначають один з граничних станів конструкції. Максимально допустимі значення прогинів для будівельних споруд різних типів наведено у Будівельних нормах і правилах. При випробуванні конструкцій прогин визначають спеціальними приладами — прогиномірами.

Аналітичне визначення прогину балки

Для аналітичного визначення прогину балки в довільному перерізі потрібно мати рівняння пружної лінії

$w=f(x)$.

Ступінь викривлення осі у межах пружності матеріалу балки залежить від величини згинального моменту і жорсткості бруса. Кривина осі визначається виразом:

$\frac{1}{\rho }=\frac{M_z}{E{I}_z},$

де ρ — радіус кривини осі зігнутого бруса у розглянутому перерізі;

Е — модуль Юнга матеріалу бруса;

I_z — осьовий момент інерції перерізу бруса відносно нейтральної лінії.

Для випадку малих деформацій кривина наближено виражається другою похідною від прогину $w(x)$, а тому між координатами зігнутої осі та згинальним моментом існує диференціальна залежність:

$\frac{d^{2}w(x)}{d{x}^2}=\frac{M_z}{E{I}_z},$

що називається диференціальним рівнянням осі зігнутого бруса. Його рішення називається рівнянням пружної лінії балки (бруса).

Інтегруючи рівняння, одержимо вираз, що описує прогин балки:

$w(x)=\int dx\int \frac{M_z(x)}{E{I}_z(x)}dx+Cx+D.$

Сталі C і D визначаються з умов закріплення балки.

Найбільший прогин балки $w(x{)}_{max}$ називається стрілою прогину — f.

Визначення прогинів у типових задачах

Балка на двох опорах навантажена зосередженим зусиллям посередині

Рівняння пружної лінії:

$w(x)=\{\begin{array}{cc}-\frac{Px(4x^2-3L^2)}{48EI},& \text{for }0\le x\le \frac{L}{2}\\ \frac{P(x-L)(L^2-8Lx+4x^2)}{48EI},& \text{for }\frac{L}{2}<x\le L\end{array}.$

Стріла прогину:

$f=w_{L/2}=\frac{P{L}^3}{48EI}.$

Консольна балка, навантажена зосередженим зусиллям на вільному кінці

Рівняння пружної лінії:

$w(x)=\frac{P{x}^2(3L-x)}{6EI}.$

Стріла прогину:

$f=w_C=\frac{P{L}^3}{3EI}.$

Консольна балка, навантажена рівномірно розподіленим зусиллям

Рівняння пружної лінії:

$w(x)=\frac{q{x}^2(6L^2-4Lx+x^2)}{24EI}.$

Стріла прогину

$f=w_C=\frac{q{L}^4}{8EI}.$

Див. також

• Пружна лінія
• Деформація згину
• Балка на двох опорах

Джерела

• Опір матеріалів. Підручник /Г. С. Писаренко, О. Л. Квітка, Е. С. Уманський. За ред. Г. С. Писаренка — К.: Вища школа,1993. — 655 с. ISBN 5-11-004083-4
• Шваб'юк В. І. Опір матеріалів: навч. посіб. для студентів ВНЗ / В. І. Шваб'юк. — К.: НТУ «КПІ», 2009. — 380 с.

Посилання

• Шаблон:ТС Буд