Задача Мінковського

Задача Мінковського: Шаблон:Рамка Чи існує замкнута опукла гіперповерхня $F$, у якої кривина Гауса $K(n)$ є заданою функцією одиничного вектора зовнішньої нормалі $n$. Шаблон:/рамка Поставлена Мінковським, якому належить узагальнене розвязання цієї задачі, в тому сенсі, що воно не містить жодної інформації про характер регулярності $F$, навіть якщо $K(n)$ — аналітична функція. Мінковський довів, що якщо на одиничній гіперсфері $S$ задана безперервна додатна функція $K(n)$, яка задовольняє умові: $\underset{S}{\int }\frac{n}{K(n)}ds=0,$, то існує і єдина (з точністю до паралельного переносу) замкнена опукла поверхня $F$, для якої $K(n)$ є кривиною Гауса в точці з зовнішньою нормаллю $n$.

Регулярне рішення задачі Мінковського в Евклідовому просторі дано Погорєловим О. В. у 1971 році. Зокрема, він довів, що якщо $K(n)$ належить класу $C^m$, $m\ge 3$, то одержувана поверхня $F$ належить класу гладкості $C^{m+1,\alpha }$, а в випадку аналітичності $K(n)$, поверхня $F$ також буде аналітичною.

За рішення цієї проблеми Погорєлов О. В. був нагороджений Державною премією УРСР в 1974 році.

Варіації і узагальнення

• Існує узагальнення задачі Мінковського для Ріманова простору.

Див. також

• Теорема Мінковського

Література

• Minkowski H. Volumen und Oberfläche, Mathematische Annalen, 57 (1903) 447—495
• Погорелов А. В., Многомерная проблема Минковского, М., 1971;
• Буземан Г., Выпуклые поверхности, пер. с англ.. М., 1964.