Тензорне розшарування

Тензорне розшарування типу $(p,q)$ на диференційовному многовиді $M$ — це векторне розшарування $T^{p,q}(M)$ над $M$, асоційоване з розшаруванням дотичних реперів і таке що має як стандартний шар простір $T^{p,q}({ℝ}^n)$ тензорів типу $(p,q)$ на ${ℝ}^n$, в якому група $GL(n,ℝ)$ діє за допомогою тензорного представлення. Наприклад, $T^{1,0}(M)$ збігається з дотичним розшаруванням $T(M)$ над $M$, a $T^{0,1}(M)$ — з кодотичним розшаруванням $T(M{)}^{*}$.

У загальному випадку тензорне розшарування ізоморфно тензорному добутку дотичних і кодотичних розшарувань:

$T^{p,q}(M)\cong \stackrel{p}{⨂}T(M)⨂\stackrel{q}{⨂}T(M{)}^{*}$

Самі розшарування є лише основою для побудови перетинів тензорних розшарувань типу $(p,q)$, які називаються тензорними полями типу $(p,q)$ і є основним об'єктом дослідження диференціальної геометрії. Так, наприклад, ріманова структура на $M$ — це гладкий перетин розшарування $T^{0,2}(M)$, значення якого є позитивно визначеними симетричними формами.

Гладкі перетини розшарування $T^{p,q}(M)$ утворюють модуль $D^{p,q}(M)$ над алгеброю $F^{\mathrm{\infty }}(M)=D^{0,0}(M)$ гладких функцій на $M$. Якщо $M$ — паракомпактний многовид, то

$D^{p,q}(M)\cong \stackrel{p}{⨂}{D}^1(M)⨂\stackrel{q}{⨂}{D}^1(M{)}^{*},$

де $D^1(M)=D^{1,0}(M)$ — модуль гладких векторних полів, $D^1(M{)}^{*}=D^{0,1}(M)$ - модуль пфаффових диференціальних форм, а тензорні добутки беруться над $F^{\mathrm{\infty }}(M)$.

У класичній диференціальній геометрії тензорні поля іноді називають просто тензорами на $M$.

Література

• Шаблон:Книга.
• Шаблон:Книга.