Знижування порядку

Шаблон:Диференціальні рівняння Знижування порядку — техніка в математиці призначена для розв'язання лінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку. Її використовують коли відомий один розв'язок $y_1(x)$ і необхідно знайти другий лінійно незалежний розв'язок $y_2(x)$. Цей метод також застосовують для рівнянь n-го порядку. В цьому випадку анзац породить рівняння (n-1)-го порядку для $v$.

Звичайні диференціальні рівняння другого порядку

Приклад

Розглянемо загальне однорідне другого порядку з коефіцієнтами-сталими ЗДР

$a{y}^{″}(x)+b{y}^{\prime }(x)+cy(x)=0,$

де $a,b,c$ є дійсними ненульовими коефіцієнтами, також припустимо, що його характеристичним рівняння

$a{\lambda }^2+b\lambda +c=0$

має повторювані корені(тобто дискримінант, $b^2-4ac$ дорівнює нулю). Отже маємо

${\lambda }_1={\lambda }_2=-\frac{b}{2a}.$

Відтак нашим розв'язком для ЗДР є

$y_1(x)=e^{-\frac{b}{2a}x}.$

Для віднайдення другого розв'язку ми робимо припущення, що

$y_2(x)=v(x)y_1(x)$

де $v(x)$ це невідома функція, яку ми маємо визначити. З того, що $y_2(x)$ повинно задовольняти оригінальному ЗДР, ми підставляємо його назад, щоб отримати

$a(v^{″}{y}_1+2v^{\prime }{y_1}^{\prime }+v{y_1}^{″})+b(v^{\prime }{y}_1+v{y_1}^{\prime })+cv{y}_1=0.$

Перелаштувавши це рівняння в термінах похідних від $v(x)$ отримуємо

$\left(a{y}_1\right)v^{″}+(2a{y_1}^{\prime }+b{y}_1)v^{\prime }+(a{y_1}^{″}+b{y_1}^{\prime }+c{y}_1)v=0.$

Оскільки ми знаємо, що $y_1(x)$ є розв'язком початкової проблеми, коефіцієнт останнього доданку дорівнює нулю. Далі більше, підставив $y_1(x)$ в коефіцієнт другого доданку маємо

$2a(-\frac{b}{2a}{e}^{-\frac{b}{2a}x})+b{e}^{-\frac{b}{2a}x}=(-b+b)e^{-\frac{b}{2a}x}=0.$

Отже ми залишилися з

$a{y}_1{v}^{″}=0.$

З того, що ми припустили, що $a\ne 0$ і $y_1(x)$ є показниковою функцією і тому ніколи не стає нулем ми просто маємо, що

$v^{″}=0.$

Інтегруємо це двічі, щоб отримати

$v(x)=c_{1}x+c_2$

де $c_1,c_2$ є сталими інтегрування. Тепер ми можемо наш другий розв'язок як

$y_2(x)=(c_{1}x+c_2)y_1(x)=c_{1}x{y}_1(x)+c_2{y}_1(x).$

З того, що другий доданок у $y_2(x)$ є скалярним кратним першого розв'язку (і отже лінійно залежним) ми можемо опустити його і отримати кінцевий розв'язок

$y_2(x)=x{y}_1(x)=x{e}^{-\frac{b}{2a}x}.$

Насамкінець, ми можемо довести, що другий розв'язок $y_2(x)$, який ми знайшли цим способом, є лінійно незалежним із першим розв'язком через визначник Вронського

$W(y_1,y_2)(x)=\left|\begin{array}{cc}{y}_1& x{y}_1\\ {y_1}^{\prime }& y_1+x{y_1}^{\prime }\end{array}\right|=y_1(y_1+x{y_1}^{\prime })-x{y}_1{y_1}^{\prime }=y_1^2+x{y}_1{y_1}^{\prime }-x{y}_1{y_1}^{\prime }=y_1^2=e^{-\frac{b}{a}x}\ne 0.$

Отже $y_2(x)$ є другим лінійно незалежним розв'язком, який ми й шукали.

Загальний метод

Нехай задане неоднорідне лінійне диференціальне рівняння

$y^{″}+p(t)y^{\prime }+q(t)y=r(t)$

і один розв'язок $y_1(t)$ однорідного рівняння [$r(t)=0$], знайдемо розв'язок повного неоднорідного рівняння у формі:

$y_2=v(t)y_1(t)$

де $v(t)$ є довільною функцією. Отже

${y_2}^{\prime }=v^{\prime }(t)y_1(t)+v(t){y_1}^{\prime }(t)$

і

${y_2}^{″}=v^{″}(t)y_1(t)+2v^{\prime }(t){y_1}^{\prime }(t)+v(t){y_1}^{″}(t).$

Якщо підставити ці результати для $y$, $y^{\prime }$ і $y^{″}$ в диференціальне рівняння, тоді

$y_1(t)v^{″}+(2{y_1}^{\prime }(t)+p(t)y_1(t))v^{\prime }+({y_1}^{″}(t)+p(t){y_1}^{\prime }(t)+q(t)y_1(t))v=r(t).$

З того, що $y_1(t)$ є розв'язком початкового однорідного диференціального рівняння, ${y_1}^{″}(t)+p(t){y_1}^{\prime }(t)+q(t)y_1(t)=0$, тобто ми можемо зменшити до

$y_1(t)v^{″}+(2{y_1}^{\prime }(t)+p(t)y_1(t))v^{\prime }=r(t)$

це рівняння є рівнянням першого порядку щодо $v^{\prime }(t)$ (знижування порядку). Ділимо на $y_1(t)$, отримуємо

$v^{″}+(\frac{2{y_1}^{\prime }(t)}{y_1(t)}+p(t))v^{\prime }=\frac{r(t)}{y_1(t)}$.

Інтегрувальний множник: $\mu (t)=e^{\int (\frac{2{y_1}^{\prime }(t)}{y_1(t)}+p(t))dt}=y_1^2(t)e^{\int p(t)dt}$.

Множачи диференціальне рівняння на інтегрувальний множник $\mu (t)$, рівняння для $v(t)$ можна звести до

$\frac{d}{dt}(v^{\prime }(t)y_1^2(t)e^{\int p(t)dt})=y_1(t)r(t)e^{\int p(t)dt}$.

Після інтегрування останнього рівняння, ми знаходимо $v^{\prime }(t)$, яка містить одну сталу інтегрування. тоді інтегруємо $v^{\prime }(t)$ для віднайдення повного розв'язку початкового неоднорідного рівняння другого порядку, з двома сталими інтегрування як і повинно бути:

$y_2(t)=v(t)y_1(t)$.