Банахова алгебра

Банахова алгебра — це топологічна алгебра $A$ над полем комплексних чисел, топологія якої визначається нормою, що перетворює $A$ в банахів простір. При цьому, за означенням топологічної алгебри, функція добутку елементів неперервна по кожному із множників.

Найважливіший і найкраще вивчений клас утворюють комутативні банахові алгебри, в яких за визначенням $xy=yx\mathrm{\forall }x,y\in A.$

За принципом рівномірної неперервності, у будь-якій банаховій алгебрі маємо $\Vert xy\Vert \le C\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert \mathrm{\forall }x,y\in A,$ тому норму в $A$ можна замінити на еквівалентну, що задовольняє

$\Vert xy\Vert \le \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert \mathrm{\forall }x,y\in A(*).$

Банахова алгебра $A$ називається алгеброю з одиницею, якщо вона містить елемент $1$ такий, що $1\cdot x=x\cdot 1=x\mathrm{\forall }x\in A.$ Якщо $A$ не має одиниці, то її можна приєднати, створивши банахову алгебру $A\oplus ℂ$ з одиницею і нормою $||x+r\cdot 1||=||x||+|r|,$ що містить алгебру $A$ як замкнуту підалгебру. Тому звичайно вважають, що банахова алгебра задовольняє (*) і має одиницю.

Приклади

1) Нехай $X$ — компактний топологічний простір, $C(X)$ — сукупність усіх неперервних комплексних функцій, визначених на $X$. Це — комутативна банахова алгебра відносно поточкових операцій додавання та множення, з нормою

$\Vert f\Vert =\max \{|f(x)|:x\in X\}.$

2) Простір $l^1$ послідовностей $x=(x_0,x_1,\dots ),$ для яких $||x||=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}|x_n|<\mathrm{\infty },$ з нормою $||x||,$ звичайним додаванням і добутком за формулою

$(xy{)}_n=\sum _{k=0}^n{x}_k{y}_{n-k}.$

3) Множина $B(L)$ всіх обмежених лінійних операторів на банаховому просторі $L$ утворює банахову алгебру відносно звичайних операцій додавання і множення лінійних операторів і норми оператора. Зокрема, банахову алгебру утворюють всі обмежені лінійні оператори на гільбертовому просторі $H$.

4) Групова алгебра $L^1(G)$ локально компактної топологічної групи $G,$ де добуток — це згортка функцій на $G.$

Спектри

• Спектр елемента унітальної комплексної банахової алгебри — непорожній компакт. Для будь-якого компакта $K$ спектр $w(z)=z$ на $C(K)$ збігається з $K$, тобто інших обмежень немає.
• Спектральним радіусом $R$ елемента $x$ називається $\sup \{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}.$ Для нього існує формула спектрального радіуса $R=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert x^n{\Vert }^{1/n}.$
• Якщо $\phi :A\to B$ -унітальний (переводить одиницю $A$ в одиницю $B$) гомоморфізм, то для будь-якого $a\in A$ виконане ${\sigma }_B(\phi (a))\subseteq {\sigma }_A(a)$. Тобто при гомоморфізмі спектр або зберігається, або зменшується.
• Якщо $p\in ℂ[t]$ — многочлен з комплексними коефіцієнтами, тоді $p(\sigma (a))=\sigma (p(a))$. Це твердження також вірно для будь-якої голоморфної функції, зокрема синуса, логарифма та експоненти.

Алгебри з інволюцією та $C^{*}-$алгебри

Шаблон:Main У більшості природно виникаючих банахових алгебр є операція спряження, тобто деяке неперервне відображення $A$ до себе, $x\mapsto x^{*}.$

Елемент $x\in A$ називається:

• нормальним, якщо $x^{*}x=x{x}^{*};$
• ермітовим, якщо $x=x^{*};$
• унітарним, якщо $x^{*}x=x{x}^{*}=1.$

Це узагальнює відповідні ознаки лінійних операторів.

Алгебра $B(H)$ обмежених операторів на гільбертовому просторі $H$ являє собою банахову алгебру з інволюцією, де $T^{*}$ — це спряжений до оператора $T$. Виникає природне питання, чи можна реалізувати будь-яку банахову алгебру з інволюцією як підалгебру $B(H).$ Це питання було повністю розв'язано І. М. Гельфандом і М. А. Наймарком.

Банахова алгебра з інволюцією $A$ називається $C^{*}-$алгеброю, якщо виконується тотожність

$\Vert x^{*}x\Vert =\Vert x{\Vert }^2$ для всіх $x\in A.$

Неважко побачити, що в алгебрі $B(H)$ це так. Гельфанд і Наймарк довели, що і навпаки, будь-яка $C^{*}-$алгебра $A$ допускає точне *-зображення у $B(H).$ Так звана ГНС конструкція (на честь Гельфанда, Наймарка і Сегала), що надає канонічне таке зображення, відіграє найважливішу роль в алгебраїчній квантовій теорії поля.

І. М. Гельфанд також довів, що будь-яка комутативна $C^{*}-$алгебра з одиницею має вигляд $C(X)$ (див. Приклад 1). Компактний топологічний простір $X$ можна знайти розглядаючи ненульові характери алгебри $A$, або її максимальні ідеали, $X=\mathrm{SpecmA}.$ Некомутативна геометрія А.Конна розглядає довільну (некомутативну) $C^{*}-$алгебру $A$ як алгебру функцій на (неіснуючому) некомутативному просторі $\mathrm{Spec}{A}^{″}$.

Теорія $C^{*}-$алгебр використовується в теорії зображень і сучасний топології, зокрема K-теорії і теорії шаруваннь.

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Стефана Банаха

Література

• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Книга-ру