Ізопериметрична нерівність

Ізопериметричною нерівністю в математиці називають геометричну нерівність, в якій використовується площа поверхні множини та її об'єм. В $n$-вимірному просторі ${ℝ}^n$ нижня межа нерівності площі поверхні $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{f}(S)$ множини $S\subset {ℝ}^n$ через її об'єм $\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(S)$:

$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{f}(S)⩾n\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(S{)}^{\frac{n-1}{n}}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(B_1{)}^{\frac{1}{n}}$,

де $B_1\subset {ℝ}^n$ — це одинична куля. Рівність досягається, коли $S$ буде кулею в ${ℝ}^n$.

Зокрема, на евклідовій площині для замкненої кривої довжини L та обмеженою нею області площі А, виконується нерівність

$4\pi A⩽L^2,$

і рівність має місце тоді і лише тоді, коли крива є колом.

Див. також

• Ізопериметричне відношення
• Теорема про планарне розбиття