Z-перетворення

Z-перетворенням (перетворенням Лорана) називають згортання вихідного сигналу, заданого послідовністю дійсних чисел у часовій області, в аналітичну функцію комплексної частоти. Якщо сигнал являє імпульсну характеристику лінійної системи, то коефіцієнти Z-перетворення показують відгук системи на комплексні експоненти $E(n)=z^{-n}=r^{-n}{e}^{-i\omega n}$, тобто на гармонійні осциляції з різними частотами і швидкостями наростання / загасання.

Визначення

Дискретна функція $x(t)$ є функцією, яка визначена у дискретні моменти часу $t=lT(l=0,1,2,...).$Таку функцію можна записати у вигляді $x[lT],$ де $t$ - неперервна змінна. Ця функція $x[lT]$ характеризується тим, що вона визначається неперервною функцією (неперервного аргументу) $x(t)$ й примає її значення у моменти $t=lT(l=0,1,2,...).$ Така функція називається ґратчастою функцією. Крім того, використовуєтьс зміщена ґратчаста функція $x[(l+\epsilon )T](0<\epsilon <1),$ яка приймає значення неперервної функції у моменти $t=(l+\epsilon )T(l=0,1,2,...).$

$z$-перетворення - це співвідношення

$X(z)=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}x[lT]z^{-l},$

яке ставить у відповідність дискретній функції $x[lT]$ функцію комплексної змінної $X(z).$ При цьому $x[lT]$ називається оригіналом, а $X(z)$ - зображенням або $z$-зображенням.

$z$-перетворення також умовно записується у вигляді

$X(z)=Z\{x[lT]\},$

а зворотне $z$-перетворення - у вигляді

$x[lT]=Z^{-1}\{X(z)\}.$

$z$-перетворення із зміщеною ґратчастою функцією $x[(l+\epsilon )T]z^{-l},$ тобто співвідношення

$X(z,\epsilon )=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}x[(l+\epsilon )T]z^{-1},$

називають модифікованим $z$-перетворенням. Це перетворення також записується у вигляді

$X(z,\epsilon )=Z\{x[(l+\epsilon )T]\}=Z^{\epsilon }\{x[lT]\}.$

Наприклад, нехай потрібно визначити $z$-зображенням зміщеної ґратчастої функції $x[lT]=1[lT]$ та зміщеної ґратчастої функції $x[(l+\epsilon )T]=1[(l+\epsilon )T].$ Оскільки за усіх $l\ge 01[lT]=1[(l+\epsilon )T]=1,$ то

$X(z)=X(z,\epsilon )=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^{-l}.$

По формулі нескінченно спадаючої геометричної прогресії

$Z\{1[lT]\}=Z\{1[(l+\epsilon )T]\}=\frac{1}{1-z^{-1}}=\frac{z}{z-1}(|z|>1).$

Властивості

• існують додатні числа $M$ та $q$ такі, що $|x[lT]|<M{q}^t(\mathrm{\forall }l\ge 0);$
• $x[lT]=0(\mathrm{\forall }l<0).$

Перша властивість є необхідною для існування області збіжності ряду у правій частині, а друга властивість використовується для виводу деяких властивостей $z$-перетворення. Функції, які задовільняють вказаним двом властивостям, називають функціями-оригіналами.

1. Лінійність. Модифіковане $z$-перетворення від лінійної комбінації дискретних функцій дорівнює лінійній комбінації їх модифікованих $z$-перетворень: $Z\left\{\begin{array}{c}\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i[(l+\epsilon )T]\end{array}\right\}=\sum _{i=1}^n{a}_{i}Z\{x_i[(l+\epsilon )T]\}.$Тут $a_i(i=\overline{1,n})$ - константи.
2. Запізнювання. Модифіковане $z$-перетворення від функції із запізнюваним аргументом $x[(l-m)T]$ визначається як: $Z^{\epsilon }\{x[(l-m)T]\}=z^{-m}{Z}^{\epsilon }\{x[lT]\}=z^{-m}X(z,\epsilon ).$
3. Випередження. Модифіковане $z$-перетворення від функції із випереджуючим аргументом $x[(l+m)T]$ визначається як: $Z^{\epsilon }\{x[(l+m)T]\}=z^m\left[\begin{array}{c}X(z,\epsilon )-\sum _{k=0}^{m-1}x[(x+\epsilon )T]z^{-k}\end{array}\right].$Якщо $x[\epsilon T]=x[(1+\epsilon )T]=...=x[(m-1+\epsilon )T]=0$(початкові умови нульові), то $Z^{\epsilon }\{x[(l+m)T]\}=z^{m}X(z,\epsilon ).$
4. Згортання. Добуток зображень $X_1(z,\epsilon )$ та $X_2(z,\epsilon )$ дорівнює $z$-перетворенню від згортання їх оригіналів $x_1[(l+\epsilon )T]$ та $x_2[(l+\epsilon )T]$: $X_1(z,\epsilon )X_2(z,\epsilon )=Z\{\sum _{k=0}^l{x}_1[(k+\epsilon )T]x_2(l-k+\epsilon )T\}=Z\{\sum _{k=0}^l{x}_2[(k+\epsilon )T]x_1[(l-k+\epsilon )T]\}.$
5. Межеві значення. Початкове значення ґратчастої функції $x[lT]$ по її звичайному та модифікованому $z$-зображенню визначається як: $x[\epsilon T]=\underset{z\to \mathrm{\infty }}{\lim }X(z,\epsilon ),x[0]=\underset{z\to \mathrm{\infty }}{\lim }X(z).$ Границя $z(\mathrm{\infty })=\underset{l\to \mathrm{\infty }}{\lim }x[lT]$ за умови, що вона існує, визначається як: $x(\mathrm{\infty })=\underset{z\to 1}{\lim }(z-1)X(z,\epsilon )=\underset{z\to 1}{\lim }(z-1)X(z).$

Z-перетворення, як і багато інтегральних перетворень, може бути як одностороннє, так і двостороннє.

Двостороннє Z-перетворення

Двостороннє Z-перетворення X (z) дискретного часового сигналу x [n] задається як:

$X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}$.

де n — ціле, z — комплексне число.

$z=A{e}^{j\phi }$,

де A — амплітуда, а $\phi$ — кутова частота (у радіанах на відлік)

Одностороннє Z-перетворення

У випадках, коли x [n] визначена тільки для $n⩾0$, одностороннє Z-перетворення задається як:

$X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}$.

Зворотне Z-перетворення

Зворотне Z-перетворення визначається, наприклад, так:

$x[n]=Z^{-1}\{X(z)\}=\frac{1}{2\pi j}\underset{C}{\oint }X(z)z^{n-1}dz$,

де C — контур, що охоплює область збіжності X (z). Контур повинен містити всі відрахування X (z).

Поклавши в попередній формулі $z=r{e}^{j\phi }$, отримаємо еквівалентне визначення: $x[n]=\frac{r^n}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}X(r{e}^{j\phi })e^{jn\phi }d\phi .$

Таблиця деяких Z-перетворень

Позначення:

• $\theta [n]$ --- функція Гевісайда.
• $\delta [n]$ --- дельта-функція Дірака.

	Сигнал, $x[n]$	Z-перетворення, $X(z)$	Область збіжності
1	$\delta [n]$	$1$	$\mathrm{\forall }z$
2	$\delta [n-n_0]$	$\frac{1}{z^{n_0}}$	$z\ne 0$
3	$\theta [n]$	$\frac{z}{z-1}$	$|z|>1$
4	$a^n\theta [n]$	$\frac{1}{1-a{z}^{-1}}$	$|z|>|a|$
5	$n{a}^n\theta [n]$	$\frac{a{z}^{-1}}{(1-a{z}^{-1}{)}^2}$	$|z|>|a|$
6	$-a^n\theta [-n-1]$	$\frac{1}{1-a{z}^{-1}}$	$|z|<|a|$
7	$-n{a}^n\theta [-n-1]$	$\frac{a{z}^{-1}}{(1-a{z}^{-1}{)}^2}$	$|z|<|a|$
8	$\cos ({\omega }_{0}n)\theta [n]$	$\frac{1-z^{-1}\cos ({\omega }_0)}{1-2z^{-1}\cos ({\omega }_0)+z^{-2}}$	$|z|>1$
9	$\sin ({\omega }_{0}n)\theta [n]$	$\frac{z^{-1}\sin ({\omega }_0)}{1-2z^{-1}\cos ({\omega }_0)+z^{-2}}$	$|z|>1$
10	$a^n\cos ({\omega }_{0}n)\theta [n]$	$\frac{1-a{z}^{-1}\cos ({\omega }_0)}{1-2a{z}^{-1}\cos ({\omega }_0)+a^2{z}^{-2}}$	$|z|>|a|$
11	$a^n\sin ({\omega }_{0}n)\theta [n]$	$\frac{a{z}^{-1}\sin ({\omega }_0)}{1-2a{z}^{-1}\cos ({\omega }_0)+a^2{z}^{-2}}$	$|z|>|a|$

Див. також

• Перетворення Лапласа
• Ґратчаста функція