Лема Шварца

Шаблон:Комплексний аналіз Лема Шварца — твердження в комплексному аналізі про властивості голоморфних функцій з одиничного круга комплексної площини в себе. Названа на честь німецького математика Германа Шварца. Узагальненням леми є теорема Шварца — Альфорса — Піка. Лема не так відома, як більш сильна теорема Рімана про відображення.

Формулювання

Нехай $\mathrm{\Delta }=\{z:|z|<1\}$ — одиничний круг на комплексній площині $ℂ$. Нехай функція $f$ голоморфна в $\mathrm{\Delta }$ і задовольняє умови:

1. $f(0)=0$;
2. $|f(z)|⩽1,\mathrm{\forall }z\in \mathrm{\Delta }$.

Тоді:

1. $|f(z)|⩽|z|,\mathrm{\forall }z\in \mathrm{\Delta }$;
2. $|f^{\prime }(0)|⩽1$.

Окрім того, якщо $|f(z)|=|z|$, для деякого ненульового $z\in \mathrm{\Delta }$ або $|f^{\prime }(0)|=1$ тоді $f(z)=\alpha z$ для деякого комплексного числа $\alpha$ для якого $|\alpha |=1$.

Доведення

Розглянемо функцію $g(z)=\frac{f(z)}{z}$. Ця функція є голоморфною на множині $\mathrm{\Delta }\setminus 0$.

Маємо також $\underset{z\to 0}{\lim }g(z)=\underset{z\to 0}{\lim }\frac{f(z)}{z}=\underset{z\to 0}{\lim }\frac{f(z)-f(0)}{z-0}=f^{\prime }(0)$.

Визначивши $g(0)=f^{\prime }(0)$, отримаємо голоморфну на всьому одиничному крузі функцію. Розглянемо замкнутий круг ${\mathrm{\Delta }}_{\epsilon }=\{z:|z|<1-\epsilon \}$ для довільного $0<\epsilon \ll 1$. На границі цього круга, $|g(z)|⩽\frac{1}{(1-\epsilon )}$. З принципу максимуму модуля випливає, що ${\mathrm{\Delta }}_{\epsilon }=\{z:|z|⩽1-\epsilon \}$ також для всіх $z\in {\mathrm{\Delta }}_{\epsilon }$. Якщо тепер направити $\epsilon \to 0$ то в результаті одержуємо $|g(z)|⩽1$ для всіх $z\in \mathrm{\Delta }$. Дана нерівність згідно означень рівносильна нерівності $|f(z)|⩽|z|$ для $z\in \mathrm{\Delta }\setminus 0$ (для $z=0,|f(z)|=0=|z|,$ так що твердження леми автоматично виконується). Також згідно визначення $g(0)=f^{\prime }(0)$ тому $|f^{\prime }(0)|=|g(0)|⩽1$.

Якщо тепер для деякого ненульового $z\in \mathrm{\Delta }$ виконується $|f(z)|=|z|$ то $|g(z)|=1.$ Якщо $|f^{\prime }(0)|=1$ тоді $g(0)=1.$ Оскільки $|g(z)|⩽1$ для всіх $z\in \mathrm{\Delta }$ то згідно принципу максимального модуля в обох цих випадках функція $g(z)$ є константою. Модуль цієї константи рівний 1. Якщо позначити цю константу $\alpha$ то маємо $\frac{f(z)}{z}=g(z)\equiv \alpha ,$ звідки $f(z)=\alpha z.$

Див. також

• Принцип максимуму модуля
• Теорема Бореля — Каратеодорі

Література

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). Function Theory of One Complex Variable. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2905-9