Спрощений квадрат Аренса

Визначення

Нехай $S=(0,1{)}^2$, $X=S\cup \{(0,0),(0,1)\}$, бази систем околів точок з $S$ є евклідовими, а множини $U_n(0,0)=\{(0,0)\}\cup \{(x,y)|0<x<\frac{1}{2},0<y<\frac{1}{n}\}$ та $U_m(1,0)=\{(1,0)\}\cup \{(x,y)|\frac{1}{2}<x<1,0<y<\frac{1}{m}\}$ утворюють бази систем околів точок $(0,0)$ і $(1,0)$ відповідно.

Властивості

• $X$ гаусдорфів, але не цілком гаусдорфів, бо точки $(0,0)$ і $(1,0)$ не мають замкнених неперетинних околів. Очевидно, що $X$ напіврегулярний, тому що задана база складається з відкритих регулярних множин. Таким чином $X$ не є $T_3$,$T_4$ або $T_5$-простором.
• Очевидно, що $X$ не є секвенціально компактним, тому що індукована топологія на відкритому квадраті $S$ є евклідовою.
• $X$ не є ані локально компактним, ані компактним простором, бо він є $T_2$ і не є $T_3$-простором.
• $X$ задовольняє другу аксіому зліченності, сепарабельний і ліндельофів. Оскільки $X$ не є $T_3$-простором, він не паракомпактний і, таким чином, не зліченно паракомпактний внаслідок ліндельофовості.
• $X$ метакомпактний, бо відкритий квадрат $S$ метакомпактний в індукованій топології, і тому додавання околу для кожної з двох точок $(0,0)$ і $(1,0)$ до точково скінченного вписаного покриття не змінить його точково скінченний характер.
• Тотожне відображення з $X$ з евклідовою топологією в заданий простір $X$ неперервне, тому $X$ є і дугово зв'язним, і локально дугово зв'язним.

Література

• Шаблон:Citation (Приклад 81)