Система коренів

Ця стаття описує систему коренів у математиці, для опису кореневої системи рослин дивіться — корінь.

У математиці система коренів (коренева система) — це конфігурація векторів в евклідовому просторі, що задовольняє певним геометричним властивостям. Ця концепція є фундаментальною в теорії груп Лі. З тих пір як групи Лі (і деякі інші аналоги, такі як алгебричні групи) протягом двадцятого століття з'явилися в багатьох розділах математики. Більш того, класифікація систем коренів за схемами Динкіна​​ зустрічається в розділах математики, не пов'язаних явно з групами Лі (наприклад, в теорії сингулярностей).

Означення

Нехай $V$ — скінченновимірний евклідів простір із звичайним скалярним добутком, позначеним як $(\cdot ,\cdot )$. Система корнів у $V$ — це скінченна множина $\mathrm{\Phi }$ ненульових векторів (званих корнями), що задовільняють наступним властивостям.

Цілістна умова для $⟨\alpha ,\beta ⟩$ змушує $\beta$ лежати на одній з вертикальних прямих. Комбінація цієї умови з цілістною умовою для $⟨\alpha ,\beta ⟩$ зводить можливі кути між $\alpha$ и $\beta$ не більш ніж до двох, для кожної з вертикальних прямих.

1. $V$ є лінійною оболонкою системи коренів.
2. Якщо два кореня $\alpha \in \mathrm{\Phi }$, $\beta \in \mathrm{\Phi }$ є колінеарними векторами, то або вони збігаються, або $\beta =-\alpha$.
3. Для кожного кореня $\alpha \in \mathrm{\Phi }$ множина $\mathrm{\Phi }$ замкнута відносно віддзеркалення в гіперплощині, що перпендикулярна $\alpha$. Тобто для будь-яких двох коренів $\alpha$ і $\beta$, множина $\mathrm{\Phi }$ містить віддзеркалення $\beta$

   ${\sigma }_{\alpha }(\beta )=\beta -2\frac{(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}\alpha \in \mathrm{\Phi }.$

4. (Умова цілісності) Якщо $\alpha$ і $\beta$ є коренями у $\mathrm{\Phi }$, тоді проєкція $\beta$ на пряму, що проходить через $\alpha$, є напівцілим добутком $\alpha$. Тобто

   $⟨\beta ,\alpha ⟩=2\frac{(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}\in \mathbb{Z}.$

Беручи до уваги властивість 3, умова цілісності еквівалентна твердженню, що різниця між $\beta$ та його відображенням ${\sigma }_{\alpha }(\beta )$ дорівнює корню $\alpha$, помноженому на ціле число. Слід зазначити, що оператор

$⟨\cdot ,\cdot ⟩:\mathrm{\Phi }\times \mathrm{\Phi }\to \mathbb{Z}$,

визначений властивістю 4, не є скалярним добутком. Він не симетричний і лінійний лише за першим аргументом.

Класифікація систем коренів за схемою Динкіна

Приклади системи коренів рангу 1 і рангу 2

Існує тільки одна система коренів рангу 1, вона складається з двох ненульових векторів $\{\alpha ,-\alpha \}$. Ця система називається $A_1$.

У ранзі 2 існують чотири можливі варіанти ${\sigma }_{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha$, де $n=0,1,2,3$.

Система коренів рангу 2

Система коренів $A_1\times A_1$	Система коренів $A_2$
Система коренів $B_2$	Система коренів $G_2$

Посилання

• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений / Перев. с англ. Б. Р. Френкина. — М.: МЦНМО, 2008. — 216 с.
• Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам — М.: УРСС, 1995. — 344 с.
• Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы / Пер. с англ./Под ред. В. П. Платонова. — М.: Наука, 1980. — 400 с.
• Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (часть 2) / Пер. с франц./Под ред. А. И. Кострикина. — М.: Мир, 1972. — 332 с.