Теорема Дарбу в математичному аналізі

Шаблон:Значення Теорема Дарбу — теорема в математичному аналізі, що стверджує — якщо деяка функція на замкнутому відрізку є похідною іншої функції, то на цьому відрізку вона набуває усіх проміжних значень між значеннями на краях відрізка. Теорема названа на честь французького математика Жана Гастона Дарбу.

У випадку, якщо похідна є неперервною, дане твердження є наслідком теореми Больцано-Коші. Проте теорема Дарбу справедлива навіть якщо похідна не є неперервною.

Твердження теореми

Нехай $I$ — відкритий інтервал, $f:I\to ℝ$ — дійсна диференційована функція. Тоді $f^{\prime }$ володіє властивістю середнього значення: якщо $a$ і $b$ — точки, що належать $I$ і $a\le b$, для кожного дійсного числа $k,$ такого що $f^{\prime }(a)⩽k⩽f^{\prime }(b),$ існує $c\in [a,b]$ для якого $f^{\prime }(c)=k.$

Доведення

Розглянемо функцію $g:[a,b]\to ℝ$ визначену як

$\mathrm{\forall }x\in [a,b],g(x)=f(x)-xk$

де $k$ є дійсним числом, що знаходиться строго між $f^{\prime }(a)$ і $f^{\prime }(b)$.

Функція $g$ є диференційованою на відрізку $[a,b]$ і

$\mathrm{\forall }x\in [a,b],g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-k$

Зокрема, $g^{\prime }(a)=f^{\prime }(a)-k$ і $g^{\prime }(b)=f^{\prime }(b)-k$, тому $g^{\prime }(a)<0$ і $g^{\prime }(b)>0$ згідно з визначенням $k$.

Функція $g$ є неперервною на $[a,b]$ отже досягає на ньому мінімуму (друга теорема Вейєрштрасса).

Функція $g$ не досягає мінімуму в точці $a$, оскільки тоді для всіх $x\in (a,b]$ :

$\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\ge 0$

і взявши границю коли $x$ прямує до $a$, одержуємо $g^{\prime }(a)⩾0$, що неможливо. Так само мінімум неможливий у точці $b$ оскільки звідси випливало б $g^{\prime }(b)⩽0$.

Отже мінімум досягається в точці, що є внутрішньою у відрізку $c\in (a,b)$ . Тоді згідно з теоремою Ферма $g^{\prime }(c)=0$, звідки $f^{\prime }(c)=k$.

Див. також

• Теорема Больцано-Коші
• Теорема Ролля

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1