Дельтоїда

Дельтоїда

Дельто́їда (крива́ Ште́йнера) — плоска крива четвертого порядку, котра описується фіксованою точкою кола, яке котиться по внутрішній стороні іншого кола, радіус якого утричі більший за радіус першого.

Дельтоїда є частковим випадком гіпоциклоїди при відношенні радіусів кіл $k=\frac{R}{r}=3$.

Історичні дані

Назву крива отримала через подібність за формою з грецькою буквою Δ. Властивості кривої першим вивчав Л. Ейлер в XVIII столітті, а потім Я. Штейнер у XIX.

Рівняння

• Рівняння в прямокутній системі координат:

$(x^2+y^2{)}^2+18(x^2+y^2)=8x^3-24y^{2}x+27$

• Рівняння у параметричній формі:

$\{\begin{array}{c}x=2r\cos t+r\cos (2t)\\ y=2r\sin t-r\sin (2t)\end{array}$, де $t=\frac{\phi }{3}$ — третина полярного кута.

Властивості

• Довжина кривої $L=\frac{16}{3}R$, де $R$ — радіус нерухомого кола.
• Площа, що обмежується дельтоїдою, $S=\frac{2}{9}\pi R^2$.

Див. також

• Астроїда
• Задача про голку
• Круговий трикутник
• Супереліпс

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Deltoïde Шаблон:Webarchive. Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables. Шаблон:Ref-fr