Впорядкована група

Шаблон:Теорія груп Впорядкована група (також частково впорядкована група) в абстрактній алгебрі група G, на якій задано відношення часткового порядку $⩾$ таке, що для будь-яких елементів а, b, х, у з G з нерівності $a⩾b$ випливає $xay⩾xby.$ В залежності від додаткових властивостей відношення часткового порядку розрізняють такі важливі класи впорядкованих груп:

• Лінійно впорядковані групи, для яких відношення $⩾$ є відношенням лінійного порядку.
• Ґратково впорядковані групи, для який відношення порядку є ґраткою.
• Спрямовані групи, які задовольняють властивість: $\mathrm{\forall }x,y\in G,$ існує такий елемент $z\in G,$ що виконуються нерівності $z⩾x,z⩾y.$

Додатний конус

Множина $P(G)=\{x\in G|x⩾0\}$, називається додатним конусом має властивості:

1. $P(G)\cdot P(G)\subseteq P(G)$
2. $P(G)\cap P(G{)}^{-1}=\{1\}$
3. $x^{-1}P(G)x\subseteq P(G)$

Навпаки, якщо у групі G є множина P, що задовольняє умовам, то G можна перетворити на впорядковану групу взявши, що $y⩾x$ тоді і тільки тоді, коли $x{y}^{-1}\in P.$ Також при цьому $P=P(G).$

Для лінійно впорядкованих груп для додатного конуса додатково справедливим є твердження:

• $P(G)\cup P(G{)}^{-1}=G.$

Для направлених груп крім перших трьох властивостей також виконується:

• $P(G)\cdot P(G{)}^{-1}=G.$

Приклади

• адитивна група $(ℝ,+)$ дійсних чисел із звичайним порядком є лінійно впорядкованою групою;
• група $F(X,ℝ)$ функцій визначених на множині X, із значеннями в множині дійсних чисел. На цій множині можна визначити операцію поточкового додавання функцій. Відношення часткового порядку на множині цих функцій можна ввести таким чином: $f⩾g$ тоді і тільки тоді коли $f(x)⩾g(x),\mathrm{\forall }x\in X.$
• група $A(M)$ усіх автоморфізмів лінійно упорядковано] множини M себе є впорядкованою групою, якщо за групову операцію взяти суперпозицію відображень, відношення порядку визначити: $\varphi ⩾\psi ,$ тоді і тільки тоді, коли $\varphi (m)⩾\psi (m),\mathrm{\forall }m\in M.$

Випуклі підгрупи і порядковий гомоморфізм

Якщо H підгрупа групи впорядкованої групи G, то H теж буде підгрупою відносно індукованого відношення часткового порядку. Ця підгрупа називається випуклою, якщо для будь-яких елементів $x,y,z\in G,$ для яких $x⩾y⩾z$ і $x,z\in H,$ також і $y\in H.$

Гомоморфізм $\varphi :G\to H,$ що зберігає порядок у групах називається порядковим гомоморфізмом. Гомоморфізм $\varphi :G\to H,$ є порядковим тоді і тільки тоді коли $\varphi (P(G))\subseteq P(H).$

Ядром порядкового гомоморфізму впорядкованої групи завжди є випукла нормальна підгрупа.

Див. також

• Частково впорядкована множина

Література

• Кокорин А. И., Копытов В. М., Линейно упорядоченные группы, М., 1972
• Общая алгебра / Под общей редакцией Л.А. Скорнякова — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — Т. 1. — 592 с.
• Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965.