Теорема Барб'є
Теоре́ма Барб'є́ — теорема французького астронома і математика Еміля Барб'є, що описує довжину кривих сталої ширини. Сформульована і доведена Барб'є в 1860 році.
Формулювання
Шаблон:LaTeX theorem Довжина будь-якої кривої сталої ширини дорівнює . Шаблон:/theorem
Доведення
Існує кілька доведень теореми Барб'є:
- Базується на методах опуклої геометрії. З одного боку, опукла фігура є фігурою сталої ширини , якщо і тільки якщо сума Мінковського і її образу при центральній симетрії виявляється колоом радіуса . З іншого боку, при сумі за Мінковським плоских опуклих фігур, їх периметри складаються, периметр фігури сталої ширини дорівнює половині периметра кола радіуса , тобто .[1]
- Базується на теорії ймовірностей. Барб'є довів теорему, яка узагальнює відому відповідь в задачі Бюффона про кидання голки. Він показав, що при киданні опуклої фігури на площину, розкреслену лініями на відстані одна від одної, якщо фігура не може перетнути більше однієї з цих ліній, то ймовірність, що фігура перетне одну з ліній, дорівнює , де — периметр цієї фігури[2][3]. Оскільки фігура сталої ширини задовольняє умові цієї теореми для , а ймовірність перетину в цьому випадку дорівнює одиниці, її периметр повинен дорівнювати .[4]
Варіації та узагальнення
- Теорема Барб'є так само виконується для фігур сталої ширини в площині Мінковського.
- Формула Крофтона