Оператор Казиміра

В математиці Інваріант Казиміра або Оператор Казиміра - це значний елемент центру алгебри Лі. Прикладом є квадрат оператора кутового моменту, що є інваріантом Казиміра 3-вимірної групи обертань — SO(3).

Визначення

Нехай $𝔤$ — $n$-вимірна напівпроста алгебра Лі. Нехай $\{X_i{\}}_{i=1}^n$ — будь-який базис $𝔤$, а $\{X^i{\}}_{i=1}^n$ — дуальний базис, по відношенню до фіксованої інваріантної білінійної форми (наприклад, формі Кіллінга) на $𝔤$. Елемент Казиміра $\mathrm{\Omega }$ — це елемент універсальної згортаючої алгебри, що визначається формулою

$\mathrm{\Omega }=\sum _{i=1}^n{X}_i{X}^i.$

Попри те, що визначення елементу Казиміра відноситься до конкретного вибору базису в алгебрі Лі, легко показати, що отриманий елемент $\mathrm{\Omega }$ не залежить від цього вибору. Більше того, інваріантність білінійної форми, що була використана у визначенні, має на увазі, що елемент Казиміра комутує з усіма елементами алгебри $𝔤$, і, відповідно, лежить в центрі універсальної згортаючої алгебри $U(𝔤).$

Будь-якому представленню $\rho$ алгебри $𝔤$ у векторному просторі V, можливо нескінченновимірному, відповідає інваріант Казиміра $\rho (\mathrm{\Omega })$, лінійний оператор у V, що задається формулою

$\rho (\mathrm{\Omega })=\sum _{i=1}^n\rho (X_i)\rho (X^i).$

Частинний випадок даної конструкції грає важливу роль в диференціальній геометрії і загальному аналізі. Якщо зв'язана група Лі G з алгеброю Лі $𝔤$ діють на диференційовному многовиді M, то елементи $𝔤$ представляються диференціальними операторами першого порядку на M. Представлення $\rho$ діє у просторі гладких функцій на M. В такій ситуації інваріант Казиміра — це G-інваріантний диференціальний оператор другого порядку на M, що визначається з вищеприведеної формули.

Можуть бути визначені також загальніші інваріанти Казиміра. Зазвичай вони зустрічатьються при вивченні псевдо-диференціальних операторів і теорії Фредгольма.

Властивості

Оператор Казиміра — це член алгебри всіх диференціальних операторів, що комутують з усіма генераторами в алгебрі Лі.

Число незалежних елементів центру універсальної згортаючої алгебри також є рангом у випадку напівпростої алгебри Лі. Оператор Казиміра дає поняття Лапласіана на загальних напівпростих групах Лі; але такий шлях показує, що може існувати не єдиний аналог Лапласіана, для рангу >1.

За визначенням, будь-який член центру універсальної згортаючої алгебри комутує з усіма іншими елементами в алгебрі. Відповідно до леми Шура в довільному незвідному представленні алгебри Лі оператор Казимира є пропорційним до тотожності. Цей коефіцієнт пропорційності може бути використаний для класифікації представлень алгебри Лі (а, відповідно, також її групи Лі). Фізична маса і спін — приклади таких коефіцієнтів, як і багато інших квантових чисел, що використовуються в квантовій механіці. Зовнішньо, топологічні квантові числа являють собою винятки з цієї моделі, хоча більш глибокі теорії наводять на думку, що це дві грані одного явища.

Приклад: so(3)

Алгебра Лі $𝔰𝔬(3)$ відповідає SO(3), групі обертів 3-вимірного евклідового простору. Вона є напівпростою рангу 1 і тому має єдиний незалежний інваріант Казиміра. Форма Кіллінга для групи обертів — це лише символ Кронекера, а інваріант Казиміра — просто сума квадратів генераторів $L_x,L_y,L_z$ даної алгебри. Тобто, інваріант Казиміра задається формулою

$L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2.$

В незвідному представленні, інваріантність оператора Казиміра припускає його кратність одиничному елементу e алгебри, так що

$L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2=\ell (\ell +1)e.$

У квантовій механіці, скалярне значення $\ell$ відноситься до повного моменту кількості руху. Для скінченновимірних матричнозначних представлень групи обертань, $\ell$ завжди ціле (для бозонних представлень) або напівцілим (для ферміонних представлень).

Для даного числа $\ell$, матричне представлення $(2\ell +1)$-вимірне. Так, наприклад, 3-вимірне представлення so(3) відповідає $\ell =1$, і задається генераторами

$L_x=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right),L_y=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right),L_z=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$

Тоді інваріант Казиміра:

$L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2=2\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$

оскільки $\ell (\ell +1)=2$ при $\ell =1$. Таким самим чином 2-вимірне представлення має базис, що задається матрицями Паулі, які відповідають спіну 1/2.

Власні значення

Враховуючи, що $\mathrm{\Omega }$ займає центральне місце в згортаючій алгебрі, вона діє скаляром на прості модулі. Нехай $⟨,⟩$ буде нашою білінійною симетричною невиродженою формою, за допомогою якої ми визначаємо $\mathrm{\Omega }$. Нехай $L(\lambda )$ буде скінченновимірним модулем найбільшого значення, вагою $\lambda$. Тоді елемент Казиміра $\mathrm{\Omega }$ діє на $L(\lambda )$ на відміну від $⟨\lambda ,\lambda +2\rho ⟩,$ де $\rho$ визначається як півсума додатних коренів.

Джерела

• Шаблон:Книга