Алгебраїчний вираз

Алгебраїчний вираз (Шаблон:Lang-en) — скінченна комбінація символів, граматично правильна щодо правил, застосовних в поточному контексті. Символи можуть позначати константи, змінні, операції, відношення, або можуть вводити пунктуацію чи інші синтаксичні сутності. Використання виразів може різнитися від простих арифметичних операцій подібних до

$3+5\times ((-2{)}^7-\frac{3}{2})$

до складніших побудов, які можуть включати змінні, функції, факторіали, суми, похідні та інтеграли, наприклад

$f(a)+\sum _{k=1}^n{\frac{1}{k!}\frac{d^k}{d{t}^k}|}_{t=0}f(u(t))+\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{(1-t{)}^n}{n!}\frac{d^{n+1}}{d{t}^{n+1}}f(u(t))dt.$

Однак побудови, які порушують синтаксичні правила подібні до

$\times 4)x+,/y[\int \partial$

не є граматично вірними, і тому не є алгебраїчними виразами.

Алгебраїчний вираз може бути використаний для встановлення значення, яке може залежати від значень присвоєних змінним, які зустрічаються в виразі; визначення значення залежить від семантики приписуваній символам у виразі. Ці правила можуть визначити, що деякі вирази не повертають значення; кажуть, що такі вирази повертають невизначене значення, проте це граматично вірні вирази. Загалом, сутність виразу не обмежується визначенням значення; наприклад, вираз може визначати умову, або рівняння, яке має бути розв'язане, або може розглядатись як об'єкт, над яким можна проводити дії зумовно певних правил. Деякі вирази можуть визначати значення і одночасно виражати умову, яка припускається вірною.

Дивись формальні мови для загальних міркувань з приводу як будуються вирази, і формальну семантику для питань стосовно змісту приписуваному виразам.

Змінні

Багато математичних виразів включають букви звані змінними. Будь-яка змінна може бути класифікована як вільна змінна або зв'язана змінна.

На різних наборах вільних змінних вираз може бути як визначеним так і невизначеним. Таким чином алгебраїчний вираз це функція на вході якої значення вільних змінних, а на виході відповідне значення виразу.

Наприклад, вираз

$x/y$

обчислений для x = 10, y = 5, поверне 2; але невизначене для y = 0.

Обчислення виразу залежить від визначення математичних операторів і від системи значень, яка використовується в поточному контексті.

Два вирази називаються тотожними, якщо для кожної комбінації для вільних змінних, вони повертають однакові значення, тобто вони представляють одну функцію. Приклад: Вираз

$\sum _{n=1}^3(2nx)$

має вільну змінну x, зв'язану змінну n, константи 1, 2, і 3, два неявних оператори добутку і оператор суми. Цей вираз тотожний виразу 12x.

Алгебраїчні вирази були формалізовані Алонсо Черчем та Стівеном Кліні in the 1930 в лямбда-численні. Лямбда-числення склало найбільший вплив на розробку сучасної математики і мови програмування.

Один з найцікавіших результатів лямбда-числення той, що задача тотожності двох виразів в деяких випадках нерозв'язна.

Див. також

• Математичний вираз
• Формула
• Формальні граматики
• Вкладені радикали