Норма (математика)

Нор́ма — це функція, що задана на лінійному просторі і є узагальненням поняття довжини вектора.

Простір із заданою на ньому нормою називається нормованим простором.

Означення норми

Нормою у векторному просторі $V$ над полем $𝕂$ називають відображення $\Vert \cdot \Vert :V\to ℝ,$ що задовольняє наступним умовам:

1. $\Vert v\Vert \ge 0,\Vert v\Vert =0$ тільки при $v=\overrightarrow{0}$ (невід'ємність)
2. $\Vert rv\Vert =|r|\Vert v\Vert ,$ де $r\in 𝕂$ — скаляр (однорідність)
3. $\Vert u+v\Vert \le \Vert u\Vert +\Vert v\Vert ,\mathrm{\forall }u,v\in V$ (нерівність трикутника)

Ці умови також відомі як аксіоми норми.

Властивості

За допомогою норми $\Vert \cdot \Vert ,$ векторний простір $V$ одержує структуру метричного і топологічного нормованого векторного простору. А саме, відстань $d(u,v)=\Vert u-v\Vert .$ Зазначимо, що для будь-яких $u,v,w\in V$ виконується $d(u+w,v+w)=d(u,v),$ метрики на векторному просторі $V$ з такою властивістю називаються трансляційно інваріантними. Найважливіший спеціальний випадок — це коли метричний простір $V$ є повним відносно метрики означеної нормою, тобто коли $V$ — повний нормований лінійний простір, або банахів простір.

Геометричний зміст норми

З геометричної думки, задання норми на $V$ — це те й саме, що і задання її одиничної кулі $B(0,1)=\{v\in V:\Vert v\Vert \le 1\},$ тобто множини всіх векторів, довжина яких не перевищує одиниці. Одинична куля норми — це випукла підмножина векторного простору $V,$ що містить нульовий вектор $\overrightarrow{0}$ серед своїх внутрішніх точок.

Приклади

Евклідова норма

Шаблон:Main Нехай $V={ℝ}^n$ — це $n$-вимірний координатний векторний простір. Евклідова норма на $V$ визначається за формулою $\Vert u\Vert =\sqrt{(u,u)},$ де $(u,v)=\sum _{i=1}^n{u}_i{v}_i$ — це стандартний скалярний добуток на ${ℝ}^n.$ Перші дві аксіоми норми майже очевидні. Щодо третьої аксіоми, то вона випливає з нерівності Коші-Буняковського у ${ℝ}^n.$ Одинична куля цієї норми — це звичайна одинична куля.

Супремум норма

Нехай $V={ℝ}^n,$⁣ але цього разу визначимо норму за формулою $\Vert u\Vert ={\sup }_{i=1}^n|u_i|$ (це так звана sup норма). Всі три аксіоми норми легко перевіряються. У цьому випадку, одинична куля норми являє собою одиничний куб $\{u\in {ℝ}^n:|u_i|\le 1,1\le i\le n\},$ що складається із тих векторів, всі координати яких містяться між $-1$ і $1.$

Манхетенська норма

Нехай $V={ℝ}^n,$ але цього разу визначимо норму за формулою $\Vert u\Vert =\sum _{i=1}^n|u_i|.$ Як і в попередньому прикладі, аксіоми норми легко перевіряються. Одинична куля цієї норми — це узагальнений октаедр, що є правильним політопом $n$-вимірного простору полярним до $n$-вимірного куба.

Еквівалентність норм

Нехай $\Vert \cdot {\Vert }_1,\Vert \cdot {\Vert }_2$ — дві норми визначені на одному і тому ж просторі $V$. Якщо існує таке дійсне $C>0,$ що $\Vert v{\Vert }_1\le C\Vert v{\Vert }_2$ для будь-якого $v\in V,$ то норма $\Vert \cdot {\Vert }_1$ називається підпорядкованою нормі $\Vert \cdot {\Vert }_2.$ Якщо водночас і норма $\Vert \cdot {\Vert }_2$ підпорядкована нормі $\Vert \cdot {\Vert }_1$, то такі дві норми називаються еквівалентними.

Джерела

• Шаблон:Гельфанд.ЛінійнаАлгебра.укр
• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Шаблон:Березанський.Ус.Шефтель