Напівкубічна парабола

Напівкубічна парабола, або парабола Нейла — плоска алгебрична крива 3-го порядку з однією особливою точкою звороту.

Напівкубічну параболу можна означити як криву, що є еволютою параболи.

В класифікації Ньютона кривих 3-го порядку напівкубічна парабола належить до 6-го класу та є розбіжною параболою'. Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

Рівняння

Рівняння напівкубічної параболи в декартовій системі координат в неявному виді:

y^{2} = a \cdot x^{3}

Або у явному виді:

y = \pm \sqrt{a} \cdot x^{\frac{3}{2}}

При цьому крива симетрична відносно осі абсцис $O x$ , а її точка звороту знаходиться в початку координат.

Рівняння напівкубічної параболи в декартовій системі координат в параметричному виді:

{\begin{matrix} x (t) = t^{2} \\ y (t) = \sqrt{a} \cdot t^{3} \end{matrix}; - \infty < t < + \infty

Рівняння напівкубічної параболи в полярній системі координат:

r = \frac{1}{a} \cdot {tg}^{2} φ \cdot \sec φ = \frac{1}{a} \cdot \frac{\sin^{2} φ}{\cos^{3} φ}; 0 \leq φ \leq π

Метричні характеристики

Для напівкубічної параболи, що задана рівнянням $y = b \cdot x^{\frac{3}{2}}$ :

Довжина дуги від початку координат:^[1]

ℓ = \frac{1}{27 b^{3}} \cdot ((4 + 9 b^{2} \cdot x)^{\frac{2}{3}} - 8)

Об'єм тіла обертання, що утворене при обертанні навколо осі $O x$ криволінійного $△ O M P$ ( $O M$ — дуга напівкубічної параболи від початку координат, $O P = x$ — відрізок на осі $O x$ (абсциса точки $M$ ), $P M = y$ — відрізок, паралельний до осі $O y$ (ордината точки $M$ ) ) Шаблон:Sfn Шаблон:Rp:

V = π \cdot \int_{0}^{x} b^{2} \cdot x^{3} d x = \frac{b^{2} \cdot π x^{4}}{4} = \frac{π \cdot x y^{2}}{4}

Кривина напівкубічної параболи:^[1]

k = \frac{6 b}{\sqrt{x} \cdot {(4 + 9 b^{2} \cdot x)}^{\frac{3}{2}}}

Радіус кривини напівїкубічної параболи в початку координат дорівнює нулю.

Властивості

Напівкубічна парабола є алгебричною раціональною кривою 3-го порядку роду 0.
Напівкубічна парабола є необмеженою зв'язною кривою, що має вісь симетрії та одну особливу точку (касп , точку звороту 1-го роду).Шаблон:Sfn Шаблон:Rp
Має нескінченно віддалену точку перегину. Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

Приклад побудови еволюти параболи
Напівкубічна парабола є еволютою параболи та подерою цисоїди Діокла.^[2]
Зокрема, еволютою параболи y2=4a⋅x є напівкубічна парабола 27a⋅y2=4⋅(x−2a)3. Шаблон:SfnШаблон:Rp
- Еволютою напівкубічної параболи $a \cdot y^{2} = x^{3}$ є крива $a \cdot (a - 18 x)^{3} = {(54 a \cdot x + \frac{729}{16} \cdot y^{2} + a^{2})}^{2}$ .Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

Напівкубічна парабола є каустикою кривої Чирнгаузена. Більше того, будь-яка каустика вигляду ластівчин хвіт поблизу вершини добре наближається навікубічною параболою, що робить цю криву еталонною в теорії катастроф.

Напівкубічна парабола є ізохронною кривою.
В 17 столітті Ляйбніц запропонував задачу: знайти криву таку, що важка матеріальна точка, рухаючись під дією сили тяжіння вздовж дуги цієї кривої, має сталу швидкість віддалення від початкового горизонту (тобто швидкісь падіння).
Задача була вирішена Ґюйґенсом в 1867 році. Шуканою кривою виявилась напівкубічна парабола. Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

Історія

Названа на честь Вільяма Нейла, який знайшов в 1660 р. довжину її дуги. Це була перша крива, після кола, довжину дуги якої вдалось порахувати^[3]. Також вдалось помітити особливість — тіло, що рухається вниз по напівкубічній кривій під дією сили тяжіння проходить однакові відстані у вертикальному напрямі за однакові проміжки часу.