Епіциклоїда

Епіцикло́їда (від Шаблон:Lang-el — на, над, при і κυκλος — коло) — плоска крива, що утворюється фіксованою точкою кола, яке котиться без ковзання по зовнішній стороні іншого нерухомого кола.

Червона крива є епіциклоїдою, що утворена точкою кола (радіус Шаблон:Math ), що котиться по нерухомому колу (радіус Шаблон:Math ).

Рухоме коло називається твірним, нерухоме коло — напрямним.Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

Початковою точкою епіциклоїди називається така її точка $P$, що лежить на прямій, яка проходить через центр $C$ рухомого кола і його точку опори, і знаходиться по той же бік від $C$, що і точка опори.Шаблон:Sfn Шаблон:Rp Початкові точки є каспами (простими точками звороту) епіциклоїди. Початкові точки епіциклоїди лежать на напрямному колі і збігаються з точками опори твірного кола.

Вершиною епіциклоїди називається така її точка $V$, що лежить на прямій, яка проходить через центр $C$ рухомого кола і його точку опори, і знаходиться з нею по різні боки від $C$.Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

Будь-яка епіциклоїда має однакову кількість вершин і каспів.

Епіциклоїда є окремим випадком епітрохоїди а також рулети — кривої, що отримана як траекторія точки деякої кривої, що котиться без ковзання по іншій нерухомій кривій.

Рівняння

Якщо центр нерухомого кола знаходиться в початку координат, його радіус дорівнює $R$, а радіус кола, що котиться по ньому дорівнює $r$, то епіциклоїда описується параметричними рівняннями відносно $\phi$:

$\{\begin{array}{c}x(\phi )=(R+r)\cos \phi -r\cos (\frac{R+r}{r}\phi )\\ y(\phi )=(R+r)\sin \phi -r\sin (\frac{R+r}{r}\phi )\end{array}\begin{array}{cc}& 0\le \phi \le 2\pi ,\text{якщо},\frac{R}{r}=k-\text{натуральне число};\\ & 0\le \phi \le 2r\cdot \pi ,\text{якщо},\frac{R}{r}=\frac{p}{q}-\text{раціональне число};\\ & 0\le \phi \le \mathrm{\infty },\text{якщо},\frac{R}{r}-\text{ірраціональне число}.\end{array}$

При цьому початкова точка епіциклоїди, її касп, з якого починається утворення кривої, лежить на додатній частині осі $Ox$.

Кут $\phi$ — параметр, а саме — це кут нахилу відрізка між центрами твірних кіл до осі $Ox$.

Параметричне рівняння повернутої відносно початку координат епіциклоїди має вигляд:

$\{\begin{array}{c}x(\phi )=(R+r)\cos \phi -r\cos (\frac{R+r}{r}\phi -\alpha )\\ y(\phi )=(R+r)\sin \phi -r\sin (\frac{R+r}{r}\phi -\alpha )\end{array}\begin{array}{cc}& \frac{r}{R}\cdot \alpha \le \phi \le 2\pi +\frac{r}{R}\cdot \alpha ,\text{якщо},\frac{R}{r}=k-\text{натуральне число};\\ & \frac{r}{R}\cdot \alpha \le \phi \le 2r\cdot \pi +\frac{r}{R}\cdot \alpha ,\text{якщо},\frac{R}{r}=\frac{p}{q}-\text{раціональне число};\\ & \frac{r}{R}\cdot \alpha \le \phi \le \mathrm{\infty },\text{якщо},\frac{R}{r}-\text{ірраціональне число}.\end{array}$

При цьому епіциклоїда повернута відносно початку координат проти годинникової стрілки на кут $\beta =\frac{r}{R}\cdot \alpha$ (тобто кут між відрізком, що з'єднує початкову точку епіциклоїди (її касп, з якого починається утворення кривої) з початком координат, та віссю $Ox$ дорівнює $\frac{r}{R}\cdot \alpha$.

Можна ввести величину $k=\frac{R}{r}$, тоді параметричні рівняння звичайної (неповернутої) епіциклоїди приймуть вигляд:

$\{\begin{array}{cc}& x(\phi )=r\cdot ((k+1)\cos \phi -\cos ((k+1)\phi ))\\ & y(\phi )=r\cdot ((k+1)\sin \phi -\sin ((k+1)\phi )).\end{array}$

Величина $k$ визначає форму епіциклоїди (див. нижче).

Ці рівняння можна записати більш компактно у комплексній формі:

$z(\phi )=r\cdot ((k+1)e^{i\phi }-e^{i(k+1)\phi })$

де

• кут $\phi \in [0,2\pi ]$ ;
• радіус твірного (рухомого) кола $r$;
• радіус напрямного (нерухомого) кола $R=kr$.

Шаблон:Не перекладено для епіциклоїди має вигляд:Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

$\frac{{\rho }^2}{a^2}+\frac{(\ell -b{)}^2}{b^2}=1$

де
$a=\frac{4r\cdot (R+r)}{R+2r}$ , $b=\frac{4r\cdot (R+r)}{R}$
$\rho$ — радіус кривини епіциклоїди в певній точці;
$\ell$ — довжина дуги епіциклоїди від її початку до цієї точки.

Це рівняння виражає наступну властивість епіциклоїди:
Якщо дуга епіциклоїди котиться без ковзання по прямій $AB$, то центр кривини точки дотику рухається по еліпсу; центр останнього лежить в тій точці прямої $AB$, через яку прокочується вершина епіциклоїди; одна з напіввісей збігається з прямою $AB$ і по довжині дорівнює половині арки епіциклоїди, а саме: $\frac{4r\cdot (R+r)}{R}$. Друга напіввісь є радіусом кривини в вершині і дорівнює: $\frac{4r\cdot (R+r)}{R+2r}$.Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

Властивості та особливості форми

• Будь-яка епіциклоїда лежить в круговому кільці, обмеженому колами з радіусами $R$ та $R+2r$.
  

На першому з них лежать каспи, а на другому — вершини епіциклоїди.

• При повороті навколо початку координат (центру нерухомого кола) $O$ на кут, кратний $2\pi \cdot \frac{r}{R}$, епіциклоїда суміщається сама з собою.Шаблон:Sfn Шаблон:Rp
• Якщо $k$ — натуральне число, то епіциклоїда є замкненою алгебричною кривою $2(k+1)$ порядку;
  

Крива складається з $k$ конгруентних арок, а отже, має $k$ вершин та каспів (тобто точок зворотів).
Точок самоперетину не має.

При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить Шаблон:Math повних обертів навколо свого центру.

• Якщо $k=\frac{p}{q}$ — раціональне число, виражене у вигляді нескоротного дроба, то епіциклоїда є замкненою алгебричною кривою $2\cdot |p+q|$ порядку;
  

Крива складається з $p$ конгруентних арок, а отже, має $p$ вершин та каспів.
Крива має $p\cdot (q-1)$ точок самоперетину.

При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить Шаблон:Math повних обертів навколо свого центру.

• Якщо $k$ — ірраціональне число, то епіциклоїда є незамкненою кривою, та має нескінченну кількість арок, вершин та каспів.
• Епіциклоїда має однакову кількість вершин та каспів;
• Будь-яка епіциклоїда з радіусами нерухомого та рухомого кіл $R$ та $r$ тотожна з гіпоциклоїдою (точніше гіпоциклоїдою, що належить до типу перициклоїд) з радіусами нерухомого та рухомого кіл $R$ та $R+r$.Шаблон:Sfn Шаблон:Rp
• Властивість нормалі та дотичної
  

Нормаль, що проведена через будь-яку точку $M$ епіциклоїди, проходить через відповідну точку дотику $E$ твірного (рухомого) та напрямного (нерухомого) кіл.
Дотична до епіциклоїди в деякій її точці $M$, проходить через точку $E^{\prime }$ напрямного кола, діаметрально протилежну до точки $E$.Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

Метричні характеристики

• Довжина дуги епіциклоїди між точками, що відповідають полярним кутам $0\le \phi \le {\phi }_1$: Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

$\ell =\frac{8r\cdot (R+r)}{R}\cdot {\sin }^2(\frac{R}{4r}\cdot {\phi }_1).$

Зокрема, довжина дуги однієї повної арки епіциклоїди дорівнює:

$\ell =8r\cdot (1+\frac{r}{R})$

Якщо $k=\frac{R}{r}$ — натуральне число, то довжина $\ell$ всієї епіциклоїди:

$\ell =8(k+1)\cdot r$

• Площа сектора епіциклоїди між точками, що відповідають полярним кутам $0\le \phi \le {\phi }_1$: Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

$S=\frac{(R+r)(R+2r)}{2}\cdot ({\phi }_1-\frac{r}{R}\cdot \sin (\frac{R}{r}\cdot {\phi }_1)).$

Площа сектора, що описується полярним радіусом $OM$ епіциклоїди, коли точка $M$ пробігає одну її арку: Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

$S_1=\frac{\pi \cdot r(R+r)(R+2r)}{R}$

Площа відповідного сектора напрямного (нерухомого) круга: $S_2=\pi \cdot r\cdot R$.

Таким чином, площа фігури, що обмежена однією аркою епіциклоїди та відповідною дугою напрямного кола, дорівнює

$S=|S_1-S_2|=\pi r^2\cdot |3+2\frac{r}{R}|$

Якщо $k=\frac{R}{r}$ — натуральне число, то площа $S$ фігури, що обмежена повною епіциклоїдою:

$S=(k+1)(k+2)\cdot \pi r^2=\pi \cdot (R+r)(R+2r)$

Це означає, що фігура, обмежена епіциклоїдою в $\frac{(k+1)(k+2)}{k^2}$ разів більша за площею, від площі напрямного круга.

• Радіус кривини будь-якої епіциклоїди в деякій її точці $M$, що відповідає полярному куту $\phi$:

$\rho =\frac{4r\cdot (R+r)}{R+2r}\cdot \sin (\frac{R}{2r}\cdot \phi ),$

Цю формулу можна записати у вигляді:Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

$\rho =2\cdot ME\cdot \frac{R+r}{R+2r},$

де $ME$ — відрізок, що сполучає точку $M$ епіциклоїди і точку опори $E$ твірного кола.

В точках звороту епіциклоїди радіус кривини дорівнює $\rho =0,$
В вершинах епіциклоїди радіус кривини дорівнює $\rho =\frac{4r\cdot (R+r)}{R+2r}.$

• Епіциклоїда та її еволюта подібні.

Відношення подібності складаєШаблон:Sfn Шаблон:Rp $R:(R+2r).$ Еволюта має той же центр, що і початкова епіциклоїда. Вершини еволюти збігаються з каспами початкової кривої. Отже, еволюту можна отримати, повернувши дану епіциклоїду на кут $\pi \cdot \frac{r}{R}$, а потім відповідно маштабувавши її.

• Епіциклоїда при різних значеннях параметра k:
• 
  Шаблон:Math; (кардіоїда)
• 
  Шаблон:Math; (нефроїда)
• 
  Шаблон:Math;
• 
  Шаблон:Math;
• 
  Шаблон:Math
• 
  Шаблон:Math
• 
  Шаблон:Math
• 
  Шаблон:Math

Окремі випадки

Окремим випадком епіциклоїди є кардіоїда (епіциклоїда з одним каспом) та нефроїда (епіциклоїда з двома каспами).

Граничні випадки епіциклоїди:

• Якщо радіус напрямного кола прямує до нескінченності ($R\to \mathrm{\infty }$), крива стає циклоїдою з тим же радіусом твірного кола.Шаблон:Sfn Шаблон:Rp
• Якщо радіус твірного кола прямує до нескінченности ($r\to \mathrm{\infty }$), твірне коло стає прямою, що котиться по нерухомому колу, а отримана крива, що описується фіксованою точкою цієї прямої, є евольвентою кола.

Див. також

• Рулета
• Список періодичних функцій

Література

• Шаблон:УСЕ-4
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Книга

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Epicycloid Шаблон:Webarchive, MathWorld
• Шаблон:MacTutor
• Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET Епіциклоїда на сайті Mathcurve , 2017
• Animation of Epicycloids, Pericycloids and Hypocycloids
• Spirograph -- GeoFun
• Historical note on the application of the epicycloid to the form of Gear Teeth

Шаблон:Криві