Інтерференція хвиль

Картина інтерференції двох кругових когерентних хвиль, у залежності від довжини хвилі та відстані між джерелами

Інтерфере́нція хвиль (від Шаблон:Lang-la — взаємно, між собою; Шаблон:Lang-la — вдаряю, вражаю) — явище накладання двох або більше когерентних хвиль, в результаті чого в одних місцях спостерігається підсилення кінцевої хвилі (інтерференційний максимум), а в інших місцях послаблення (інтерференційний мінімум).

Загальний опис

Анімація: інтерференція двох хвиль від двох точкових джерел. Максимуми показано блакитним, провали — червоним/жовтим.

Інтерференція спостерігається у когерентних хвиль довільної природи — поверхневих (на воді), поперечних та поздовжніх звукових, електромагнітних (світло, радіохвилі), хвиль де Бройля.

При інтерференції результативне коливання є геометричною сумою коливань обох хвиль у відповідних точках. Цей принцип суперпозиції як правило є точним і порушується у окремих випадках, в деяких середовищах, коли амплітуда коливань є дуже високою (нелінійна оптика, нелінійна акустика).

Найпростішим випадком інтерференції є накладання двох гармонічних хвиль з однаковою частотою і поляризацією. В такому випадку результативна амплітуда А вираховується за формулою:

$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos \alpha }$,

де $A_1$ та $A_2$ — амплітуди відповідних хвиль, $\alpha$ — різниця фаз цих хвиль.

Використання

Явище інтерференції використовується, наприклад, в радіотехніці і акустиці для створення складних антен. Особливо велике значення інтерференція має в оптиці, вона лежить в основі оптичної та акустичної голографії.

Модель інтерференції немонохроматичних хвиль Захар'євського

Модель одновимірної хвилі

В загальному випадку одновимірну хвилю, що розповсюджується вздовж осі x, можна подати в такому вигляді:

$y(x,t)=A\cdot \sin \frac{2\pi }{T_x}(t-\frac{x}{v_x})$,

де $t$ — змінна часу, $A$ — амплітуда коливання, $T_x$ — період коливань, $v_x$ — швидкість розповсюдження коливань вздовж осі x. Хвиля може також характеризуватися кутовою частотою:

${\omega }_x=\frac{2\pi }{T_x}=\frac{2\pi v_x}{{\lambda }_x}$,

де ${\lambda }_x$ -довжина хвилі. Можна також ввести хвильовий вектор (число) у вигляді:

$k_x=\frac{2\pi }{{\lambda }_x}=\frac{{\omega }_x}{v_x}$.

Таким чином одномірну хвилю, що розповсюджується вздовж осі x можна також подати у вигляді:

$y(x,t)=A\cdot \sin \varphi (x,t)=A\cdot \sin ({\omega }_{x}t-k_{x}x)$,

де $\varphi (x,t)={\omega }_{x}t-k_{x}x$ — фаза хвилі.

Модель інтерференції монохроматичної хвилі

Розглянемо монохроматичну хвилю з кутовою частотою $\omega$, ширина якої рівна нулю

$\mathrm{\Delta }(\omega )=0$.

В рамках моделі інтерференції Захар'євського розглядаються дві хвилі, що розповсюджуються по двох шляхах інтерферометра:

$y_1=A_1\sin {\varphi }_1=A_1\sin ({\omega }_x-k_x{x}_1)$

$y_2=A_2\sin {\varphi }_1=A_2\sin ({\omega }_x-k_x{x}_2)$

Сумарну хвилю можна подати у вигляді:

$y=y_1+y_2=A_1\sin {\varphi }_1+A_2\sin {\varphi }_2=(A_1+A_2\cos \psi )\sin {\varphi }_1-A_2\sin \psi \cos {\varphi }_1$,

де різниця фаз двох коливань буде:

$\psi ={\varphi }_1-{\varphi }_2=k_x(x_2-x_1)=\frac{2\pi {\mathrm{\Delta }}_x}{{\lambda }_x}$,

де ${\mathrm{\Delta }}_x=x_2-x_1$ — різниця ходу двох хвиль. Для подальшого розгляду доцільно ввести нові змінні у вигляді:

$A_1+A_2\cos \psi =A\cos \theta$

$A_2\sin \psi =A\sin \theta$.

Тоді квадрат амплітуди сумарного коливання буде:

$A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos \psi$.

Кути $\theta$ та $\psi$ пов'язані між собою таким чином:

$tg\theta =\frac{A_2\sin \psi }{A_1+A_2\cos \psi }$/

В результаті маємо наступне рівняння для інтерференційних коливань монохроматичної хвилі:

$y(x_1,t)=A\cos \theta \sin {\varphi }_1-A\sin \theta \cos {\varphi }_1=A\sin ({\varphi }_1-\theta )=A\sin (\omega t-k_x{x}_1-\theta )$

Оскільки енергія коливань залежить від квадрата амплітуди, тому для нас важливо з’ясувати можливі значення для різниці фаз та різниці ходу. Ми будемо мати два різні випадки.

В першому випадку ми маємо такі значення:

$\psi =\frac{2\pi {\mathrm{\Delta }}_x}{{\lambda }_x}=0,\pm 2\pi ,\pm 4\pi ,\dots ,\pm N_{x}2\pi$

${\mathrm{\Delta }}_x=0,\pm {\lambda }_x,\pm 2{\lambda }_x,\dots ,\pm N_x{\lambda }_x$

де $N_x$ — ціле позитивне або негативне число (порядок інтерференції). Максимальне значення квадрата модуля амплітуди тут буде:

$(A^2{)}_{max}=(A_1+A_2{)}^2$.

В другому випадку, коли ми маємо мінімальне значення квадрата амплітуди

$(A^2{)}_{min}=(A_1-A_2{)}^2$

ми будемо мати наступні значення для різниці фаз та різниці ходу:

$\psi =\frac{2\pi {\mathrm{\Delta }}_x}{{\lambda }_x}=0,\pm \pi ,\pm 3\pi ,\dots ,\pm (2N_x+1)\pi$

${\mathrm{\Delta }}_x=0,\pm {\lambda }_x/2,\pm 2{\lambda }_x/2,\dots ,\pm (N_x+1){\lambda }_x/2$.

Часто буває, що амплітуди коливань є однакові $A_1=A_2$. Тоді сумарна амплітуда буде:

$A^2=2A_1^2(1+\cos \theta )=4A_1^2{\cos }^2\theta /2=4A_1^2{\cos }^2\left(\frac{\pi {\mathrm{\Delta }}_x}{{\lambda }_x}\right)$

її максимальне значення $(A^2{)}_{max}=4A_1^2$, а мінімальне — $(A^2{)}_{min}=0$. Це найбільш бажаний результат, оскільки тут вся енергія коливань бере участь у створенні інтерференційної картини (найбільш різка контрастність).

Геометрична модель

Геометрична модель інтерференції базується на стандартній схемі, яка включає в себе два дзеркала Френеля, розміщені під невеликим кутом один до одного.

Інтервал між сусідніми світлими або темними смугами називається шириною смуги і позначається символом $\sigma$. Якщо $n_x$-а смуга знаходиться від центру поля на відстані $y_1$, то для неї різниця ходу рівна

${\mathrm{\Delta }}_{x1}=n_x{\lambda }_x=\frac{a{y}_1}{L}$,

де $a$- відстань між двома когерентними джерелами світла, а $L$- база інтерферометра (відстань між джерелами світла та площиною інтерференційного поля).

Для сусідньої $n_x+1$ -ї смуги, яка знаходиться від центру поля на відстані $y_2$, маємо

${\mathrm{\Delta }}_{x2}=(n_x+1){\lambda }_x=\frac{a{y}_2}{L}$.

Очевидно, що різниця $y_2-y_1$ рівна ширині смуги, звідки знаходимо

${\sigma }_x=y_2-y_1=\frac{L{\lambda }_x}{a}$.

Таким чином, ширина смуги інтерференції хвиль з нульовою шириною лінії ($\mathrm{\Delta }\omega =0$), залежить від довжини хвиль,що (с-)падають.

Модель двох близьких частот

В природі не зустрічаються хвилі, які характеризуються однією частотою, без розширення частотного спектру (т.з. ширина лінії спектру хвилі). навіть у випадку лазерного променя ми маємо скінченне значення ширини лінії. В загальному випадку цей частотний спектр можна розглянути за допомогою двох близьких частот:

$\mathrm{\Delta }\omega ={\omega }_2-{\omega }_1\ll {\omega }_1\ne {\omega }_2$.

Розглянемо дві близькі хвилі у вигляді:

$z_1(x,t)=A_1\sin ({\omega }_{1}t+{\varphi }_1)$

$z_2(x,t)=A_2\sin ({\omega }_{2}t+{\varphi }_2)$.

У випадку рівності амплітуд $A_1=A_2$ та фаз ${\varphi }_1={\varphi }_2$ сумарне значення двох хвиль буде:

$z_{tot}=z_1+z_2=A(\sin {\omega }_{1}t+\sin {\omega }_{2}t)=2A\cos \left(\frac{{\omega }_1-{\omega }_2}{2}t\right)\cdot \sin \left(\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}t\right)$

Середнє значення часто ми можемо розглядати як несучу частоту:

$\omega ={\omega }_{av}=({\omega }_1+{\omega }_2)/2$,

а різницю частот

$\mathrm{\Omega }={\omega }_{mod}=({\omega }_1-{\omega }_2)/2$

як модуляційну частоту. Тут ми можемо також ввести поняття амплітуда модуляції

$A_{mod}(t)=2A\cos \mathrm{\Omega }t$.

Таким чином, сумарне значення модульованої хвилі буде

$z_{tot}(t)=A_{mod}\sin \omega t$.

Модель інтерференції зі скінченною шириною частотного спектру

Розглянемо випадок інтерференції двох модуляційних хвиль, які можна подати у вигляді:

$z(x,y,t)=2A\cos [\mathrm{\Omega }(t+y/v)]\cdot \sin [\omega (t-x/v)]$.

Тут враховано той факт, що несучі хвилі розповсюджуються вздовж осі $x$, а модуляційні — вздовж осі $y$. Кутові частоти тут будуть

${\omega }_x=\frac{2\pi v}{{\lambda }_x}$

${\mathrm{\Omega }}_y=\frac{2\pi v}{{\mathrm{\Lambda }}_y}$.

Хвильові вектори (числа) можна подати у вигляді:

$k_x=\frac{{\omega }_x}{v}=\frac{2\pi }{{\lambda }_x}$

$k_y=\frac{{\mathrm{\Omega }}_y}{v}=\frac{2\pi }{{\mathrm{\Lambda }}_y}$.

Оскільки ${\omega }_x\gg {\mathrm{\Omega }}_y$, тому

${\mathrm{\Lambda }}_y=\frac{2\pi v}{{\mathrm{\Omega }}_y}\gg {\lambda }_x=\frac{2\pi v}{{\omega }_x}$.

Таким чином, інтерференція двох модуляційних хвиль є типове двомірне явище в ($x,y$) — площині. Коефіцієнт модуляції двох хвиль визначається як:

$K_M=\frac{{\omega }_x}{{\mathrm{\Omega }}_y}=\frac{{\mathrm{\Lambda }}_y}{{\lambda }_x}\gg 1$.

У випадку інтерференції його можна розглядати, як коефіцієнт підсилення двомірної інтерференції:

$K_{2D}=K_M\gg 1$.

Дві модуляційні хвилі можна подати у вигляді:

$z_1(t)=2A\cos [{\mathrm{\Omega }}_y(t+y_1/v)]\cdot \sin [{\omega }_x(t-L/v)]=A_{z1}\cos {\varphi }_{z1}=A_{z1}\cos (\mathrm{\Omega }t-k_y{y}_1)$

$z_2(t)=2A\cos [{\mathrm{\Omega }}_y(t+y_2/v)]\cdot \sin [{\omega }_x(t-L/v)]=A_{z2}\cos {\varphi }_{z1}=A_{z2}\cos (\mathrm{\Omega }t-k_y{y}_2)$.

де

$A_z=A_{z1}=A_{z2}=2A\sin (\omega t-k_{x}x)$

${\psi }_z={\varphi }_{z1}-{\varphi }_{z2}=k_y(y_2-y_1)=\frac{2\pi {\mathrm{\Delta }}_y}{{\mathrm{\Lambda }}_y}$

а ${\mathrm{\Delta }}_y=y_2-y_1$ - різниця ходу вздовж осі $y$. Сумарне значення інтерференційної хвилі тут буде:

$z_{tot}=z_1+z_2=A_{z1}\cos {\varphi }_1+A_{z2}\cos ({\varphi }_{z1}-{\psi }_z)=(A_{z1}+A_{z2})\cos {\varphi }_1+A_{z2}\sin \psi \sin {\varphi }_1$

Ми знову можемо скористатися заміною змінних у вигляді:

$A_{z1}+A_{z2}\cos \psi =A_{zz}\cos {\theta }_z$

$A_{z2}\sin {\psi }_z=A_{zz}\sin {\theta }_z$

Це дає змогу переписати сумарну хвилю у вигляді:

$z_{tot}=A_{zz}\cos {\theta }_z\cos {\varphi }_{z1}+A_{zz}\sin {\theta }_z\sin {\varphi }_{z1}=A_{zz}\cos ({\varphi }_{z1}-{\theta }_z)=A_{zz}\cos (\mathrm{\Omega }t-k_y{y}_1-{\theta }_z)$

де квадрат нової амплітуди та нова залежність між кутами буде:

$A_{zz}^2=2A_z^2(1+\cos {\psi }_z)$

$tg{\theta }_z=\frac{sin{\psi }_z}{1+\cos {\psi }_z}$

Для інтерференції з модуляцією ми також будемо мати два випадки. В першому випадку ми маємо наступні значення для різниці фаз та різниці ходу:

${\psi }_z=\frac{2\pi {\mathrm{\Delta }}_y}{{\mathrm{\Lambda }}_y}=0,\pm 2\pi ,\pm 4\pi ,\dots ,\pm N_{y}2\pi$

${\mathrm{\Delta }}_y=0,\pm {\mathrm{\Lambda }}_y,\pm 2{\mathrm{\Lambda }}_y,\dots ,\pm N_y{\mathrm{\Lambda }}_y$

де $N_y$ - ціле позитивне або негативне число (порядок інтерференції). Максимальне значення квадрата модуля амплітуди тут буде:

$(A_{zz}^2{)}_{max}=(A_{z1}+A_{z2}{)}^2$.

В другому випадку, коли ми маємо мінімальне значення квадрата амплітуди

$(A_{zz}^2{)}_{min}=(A_{z1}-A_{z2}{)}^2$,

тоді будемо мати наступні значення для різниці фаз та різниці ходу:

${\psi }_z=\frac{2\pi {\mathrm{\Delta }}_y}{{\mathrm{\Lambda }}_y}=0,\pm \pi ,\pm 3\pi ,\dots ,\pm (2N_y+1)\pi$

${\mathrm{\Delta }}_y=0,\pm {\mathrm{\Lambda }}_y/2,\pm 2{\mathrm{\Lambda }}_y/2,\dots ,\pm (N_x+1){\mathrm{\Lambda }}_y/2$.

Геометрична модель модуляційної інтерференції

Основною умовою спостереження інтерференції модульованих хвиль є виконання співвідношення для модульованої різниці ходу:

${\mathrm{\Delta }}_y=\frac{ay}{L}=N_y{\mathrm{\Lambda }}_y=N_x{\lambda }_x$,

а також співвідношення між ширинами смуг:

$N_x{\sigma }_x=N_y{\mathrm{\Sigma }}_y$.

Іншими словами, необхідна синхронність коливань вздовж осі $x$ з частотою ${\omega }_x$ та модуляційних коливань вздовж осі $y$ з частотою ${\mathrm{\Omega }}_y$. Таким чином, для коефіцієнту модуляції (або коефіцієнту підсилення ширини смуги) маємо:

$K_M=\frac{{\mathrm{\Lambda }}_y}{{\lambda }_x}=\frac{N_x}{N_y}=\frac{{\mathrm{\Sigma }}_y}{{\sigma }_x}\gg 1$.

Оскільки ми можемо спостерігати «підсилені» ширини смуг ${\mathrm{\Sigma }}_y$ (декілька штук), то для їх створення необхідно дуже багато «непідсилених» смуг ${\sigma }_x$, а це означає що $N_x\gg N_y$.

Безумовно, інтерференція немодульованих хвиль з частотою ${\omega }_x$ має пріоритет. Тому у випадку двох близьких частот ${\omega }_{x1}\ne {\omega }_{x2}$ різниця порядків інтерференції $N_{x1}$ та $N_{x2}$ повинна бути малим числом:

$N_{x1}-N_{x2}=N_{y1}-N_{y2}=n_y=0,1,2,\dots$

Тоді різниця ходу для двох близьких частот буде:

${\mathrm{\Delta }}_x=N_{x1}{\lambda }_{x1}=(N_{x1}-n_y){\lambda }_{x2}$

або

$N_{x1}=\frac{n_y{\lambda }_{x1}}{{\lambda }_{x2}-{\lambda }_{x1}}=n_y{n}_{x12}$.

Цей вираз також може переписати у формі:

$N_{x1}=n_y\frac{{\omega }_{x1}}{2{\mathrm{\Omega }}_y}=n_y{K}_{MI}$,

де $K_{MI}=\frac{{\omega }_{x1}}{2{\mathrm{\Omega }}_y}\gg 1$, а ${\mathrm{\Omega }}_y=\frac{{\omega }_1-{\omega }_2}{2}=\frac{\pi v({\lambda }_2-{\lambda }_1)}{{\lambda }_1{\lambda }_2}$. Якщо як джерело світла взяти водневу лампу, для якої ${\lambda }_2=656.2$нм та ${\lambda }_1=486.1$нм, тоді

$n_{x12}=\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_2-{\lambda }_1}=3.9$,

тобто не дуже велике число. Проте у випадку натрієвої лампи, де ${\lambda }_2=589.2$нм та ${\lambda }_1=589$нм, ми будемо мати велике число:

$n_{x12}=\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_2-{\lambda }_1}=983$.

Іншими словами, у випадку двох близьких ліній, наприклад, для лазерних променів з конечним значенням ширини спектру, або натрієвої лампи ми будемо мати великий коефіцієнт підсилення інтерференції модульованих хвиль $K_{MI}=0.5n_{x12}=500$. Проте, у випадку «білого світла» або водневої лампи коефіцієнт підсилення інтерференції буде малим $K_{MI}=0.5n_{x12}=2$. Таким чином, не залежно від конкретної схеми інтерферометра, інтерференція двох модульованих хвиль має велику ширину смуги:

${\mathrm{\Sigma }}_y=\sigma \frac{{\mathrm{\Lambda }}_y}{{\lambda }_x}={\sigma }_x{N}_x$

при ${\mathrm{\Lambda }}_y=N_x{\lambda }_x$. Тому "зміщення ширини смуги" має вигляд:

$\mathrm{\Delta }({\mathrm{\Sigma }}_y)={\mathrm{\Sigma }}_{y1}-{\mathrm{\Sigma }}_{y2}=(N_{x1}-N_{x2}){\sigma }_x=n_y{\sigma }_x$.

Очевидно, що мінімальне значення зміщення ширини смуги буде:

$[\mathrm{\Delta }({\mathrm{\Sigma }}_y){]}_{min}={\sigma }_x$

при $n_y=1$. Точність вимірювання ширини модульованих хвиль буде, якщо не враховувати похибку телескопа чи мікроскопа:

${\delta }_y=\frac{[\mathrm{\Delta }({\mathrm{\Sigma }}_y){]}_{min}}{{\mathrm{\Sigma }}_y}=\frac{{\sigma }_x}{N_x{\sigma }_x}=\frac{1}{N_{x1}}$

де $N_{x1}=n_y\frac{{\lambda }_{x2}}{{\lambda }_2-{\lambda }_1}\gg 1$.

Див. також

• Інтерферометр
• Муар
• Стояча хвиля
• Биття
• Розподілений бреггівський відбивач

Література

• Шаблон:МГЕ
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Посилання

• Java demonstration of interference Шаблон:Ref-en
• Flash animations demonstrating interference Шаблон:Webarchive Шаблон:Ref-en