Рівняння синус-Ґордона

Рівняння синус-Ґордона — це нелінійне гіперболічне рівняння з частинними похідними в 1 + 1 вимірі, що містить оператор д'Аламбера та синус невідомої функції. Спочатку його було розглянуто в XIX сторіччі в зв'язку з вивченням поверхонь постійної від'ємної кривизни. У 1970-х роках рівняння знову привернуло увагу через наявність у нього солітонних розв'язків.

Історія

Існує дві еквівалентні форми рівняння синус-Ґордона. В дійсних координатах простір-час, позначених (x,t), рівняння має вигляд:

${\phi }_{tt}-{\phi }_{xx}+\sin \phi =0.$

У разі переходу до координат світлового конуса (u,v), близьких до асимптотичних координат, де

$u=\frac{x+t}{2},v=\frac{x-t}{2},$

рівняння набуває вигляду:

${\phi }_{uv}=\sin \phi .$

Це вихідна форма рівняння синус-Ґордона, в якій його було розглянуто в XIX сторіччі в зв'язку з вивченням поверхонь постійної гаусової кривини K = −1, також званих псевдосферами. Оберемо систему координат, в якій координатна сітка u=constant, v=constant задається асимптотичними лініями, параметризованими довжиною дуги. Перша квадратична форма цієї поверхні в таких координатах матиме особливий вигляд:

$d{s}^2=d{u}^2+2\cos \phi dudv+d{v}^2,$

де $\phi$ — кут між асимптотичними лініями, і для другої квадратичної форми, L=N= 0. Тоді рівняння Петерсона — Кодацці, що відображає умову сумісності між першою і другою квадратичними формами, призводить до рівняння синус-Ґордона. Вивчення цього рівняння та відповідних перетворень псевдосфери в XIX столітті Б'янкі і Беклундом привели до відкриття перетворень Беклунда. Назва «рівняння синус-Ґордона» — це каламбур на тему відомого у фізиці рівняння Клейна — Ґордона:

${\phi }_{tt}-{\phi }_{xx}+\phi =0.$

Рівняння синус-Ґордона рівнянням Ейлера — Лагранжа для лагранжіану

${ℒ}_{\text{sine–Gordon}}(\phi ):=\frac{1}{2}({\phi }_t^2-{\phi }_x^2)-1+\cos \phi .$

Застосовуючи у цьому лагранжіані розклад косинуса у ряд Тейлора

$\cos (\phi )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-{\phi }^2{)}^n}{(2n)!}$

його може бути записано як лагранжіан Клейна-Ґордона плюс члени вищого порядку:

$\begin{array}{cc}{ℒ}_{\text{sine–Gordon}}(\phi )& =\frac{1}{2}({\phi }_t^2-{\phi }_x^2)-\frac{{\phi }^2}{2}+\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-{\phi }^2{)}^n}{(2n)!}\\ & =2{ℒ}_{\text{Klein–Gordon}}(\phi )+\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-{\phi }^2{)}^n}{(2n)!}.\end{array}$

Солітонні розв'язки

Цікава властивість рівняння синус-Ґордона — існування солітонних і багатосолітонних розв'язків.

Односолітонні розв'язки

Рівняння синус-Ґордона має такі односолітонні розв'язки

$\phi (x,t):=4\arctan e^{m\gamma (x-vt)+\delta }$

де

${\gamma }^2=\frac{1}{1-v^2}.$

односолітонний розв'язок, для якого вибраний додатній корінь для $\gamma$, називається кінком і являє собою вито́к щодо змінної $\phi$, який переводить один розв'язок $\phi =0$ у суміжний $\phi =2\pi$. Стани $\phi =0(\text{mod}2\pi )$ відомі як вакуумні, оскільки вони є сталими розв'язками нульової енергії. Односолітонний розв'язок, в якому вибирається від'ємний корінь для $\gamma$ називається антикінк. Форма односолітонних розв'язків може бути отримана за допомогою застосування перетворення Беклунда до тривіального (постійного вакуумного) розв'язку та інтегрування одержаних диференціальних рівнянь першого порядку:

${{\phi }^{\prime }}_u={\phi }_u+2\beta \sin \left(\frac{{\phi }^{\prime }+\phi }{2}\right),$

${{\phi }^{\prime }}_v=-{\phi }_v+\frac{2}{\beta }\sin \left(\frac{{\phi }^{\prime }-\phi }{2}\right)\text{ ;де }\phi ={\phi }_0=0$

Односолітонні розв'язки можуть бути візуалізовані за допомогою синус-ґордонівской моделі пружної стрічки. Вважатимемо вито́к пружної стрічки за годинниковою стрілкою (лівогвинтовий) за кінк з топологічним зарядом ${\vartheta }_{\text{K}}=-1$. Альтернативний вито́к проти годинникової стрілки (правогвинтовий) з топологічним зарядом ${\vartheta }_{\text{AK}}=+1$ буде антикінком.

Двосолітонний розв'язок

Багатосолітонні розв'язки можуть бути отримані за допомогою застосування перетворення Беклунда до односолітонного розв'язку, як пропонується ґратками Б'янкі, відповідної результатам перетворення. Двосолітонний розв'язок рівняння синус-Ґордона виявляє деякі характерні властивості солітонів. Біжучі синус-ґордонівські кінки та/або антикінки проходять один крізь одного як повністю проникні, і єдиний спостережуваний ефект — фазовий зсув. Оскільки солітони у зіткненнях зберігають свою швидкість і форму, такий вид взаємодії називається пружним зіткненням.

Інші цікаві двосолітонні розв'язки виникають з можливості спареної кінк-антикінкової поведінки, відомої як брізер. Відомо три типи брізерів: стоячий брізер, біжучий високоамплітудний брізер і біжучий низькоамплітудний брізер.

Трисолітонні розв'язки

Трисолітонні зіткнення між біжучим кінками і стоячим брізером або біжучим антикінком і стоячим брізером призводять до фазового зсуву стоячого брізера. У процесі зіткнення між рухомим кінком і стоячим брізером зсув останнього ${\mathrm{\Delta }}_{\text{B}}$ дається співвідношенням:

${\mathrm{\Delta }}_B=\frac{2\mathrm{artanh}\sqrt{(1-{\omega }^2)(1-v_{\text{K}}^2)}}{\sqrt{1-{\omega }^2}}$

де $v_{\text{K}}$ — швидкість кінка, а $\omega$ — частота брізера. Якщо координата стоячого брізера до зіткнення — $x_0$, то після зіткнення вона стане $x_0{\mathrm{\Delta }}_{\text{B}}$.

Пов'язані рівняння

Рівняння шінус-Ґордона:

${\phi }_{xx}-{\phi }_{tt}=\sinh \phi .$

Це рівняння Ейлера-Лагранжа для лагранжіану

$ℒ=\frac{1}{2}({\phi }_t^2-{\phi }_x^2)-\cosh \phi .$

Інше рівняння, тісно пов'язане з рівнянням синус-Ґордона, — це еліптичне рівняння синус-Ґордона:

${\phi }_{xx}+{\phi }_{yy}=\sin \phi ,$

де $\phi$ — функція змінних змінних x та y. Це вже не солітонне рівняння, але воно має багато схожих властивостей, оскільки пов'язане з рівнянням синус-Ґордона аналітичним продовженням (або ж поворотом Віка) $y=it$.

Еліптичне рівняння шінус-Ґордона може бути означене аналогічним чином. Узагальнення дається теорією поля Тоди.

Квантова версія

У квантовій теорії поля модель синус-Ґордона містить параметр, який може бути ототожнений зі сталою Планка, спектр частинок складається з солітону, антісолітону і скінченного (можливо, нульового) числа брізерів. Число брізерів залежить від цього параметра. Численні народження частинок скорочуються на рівняннях руху. Квазікласичне квантування моделі синус-Ґордона було здійснено Людвігом Фаддеєвим і Володимиром Корепіним. Точну квантову матрицю розсіювання відкрито Олександром Замолодчіковим. Ця модель s-дуальна моделі Тіррінґа.

У скінченому об'ємі та на промені

Модель синус-Ґордона також розглядають на колі, відрізку прямої або промені. Можливо добрати граничні умови, які зберігають інтегрованість цієї моделі. На промені спектр частинок містить граничні стани окрім солітонів і брізерів.

Суперсиметричні моделі синуса-Ґордона

Суперсиметричний аналог моделі синус-Ґордона також існує. Для нього також може бути знайдено граничні умови, що зберігають інтегрованість.

Див. також

• Брізер
• Солітон

Джерела

• Шаблон:Книга
• Polyanin AD, Zaitsev VF. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations. Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2004.