Алгебраїчні числа

Алгебраїчні числа, також алгебричні числа, — підмножина комплексних чисел, кожне з яких є коренем хоча б одного многочлена певного степеня з раціональними коефіцієнтами. Тобто число $\alpha \in ℂ$ є алгебраїчним, якщо існує многочлен

$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$,

де ${\mathrm{\forall }}_{k\in \{1\cdots n\}}{a}_k\in \mathbb{Q}$ і $f(\alpha )=0$.

У цьому визначенні можна було вимагати, щоб коефіцієнти многочлена були цілими числами. Числа, що не є алгебраїчними, називаються трансцендентними.

Якщо число є коренем многочлена $f(x)\in \mathbb{Z}[x]$ зі старшим коефіцієнтом рівним одиниці, то це число називається цілим алгебраїчним числом.

Приклади

• Всі раціональні числа є алгебраїчними: число $\left(\frac{a}{b}\right)$ є, наприклад, коренем рівняння $bx-a=0$.
• Уявна одиниця, число $i=\sqrt{-1}$ є алгебраїчним, як корінь рівняння $x^2+1=0$.
• Числа e, π, e^π є трансцендентними. Статус числа π^e невідомий.
• Якщо $\alpha \ne 0,1,\beta \notin \mathbb{Q}$ — алгебраїчні числа, тоді ${\alpha }^{\beta }$ — трансцендентне число.
• Числа $\cos (1)$ і $\sin (1)$ є алгебраїчними (кути в градусах).

Цей факт випливає з тригонометричної рівності:

$\cos ((n+1)\theta )=2\cos (n\theta )\cos \theta -\cos ((n-1)\theta )$

Тому якщо визначити послідовність многочленів:

$g_{n+1}(x)=2g_n(x)x-g_{n-1}(x),$

то $\cos (m\theta )=g_m(\cos \theta ),m\in \mathbb{N}.$ Звідси одержуємо:

$0=\cos (90\cdot 1)=g_{90}(\cos 1),$ тобто $\cos (1)$ є коренем многочлена $g_{90}(x),$ що й доводить твердження.

Для $\sin (1)$ достатньо зазначити, що всі степені $x$ в $g_{90}(x)$ є парними і що $\cos (1)=\sqrt{1-{\sin }^2(1)}$.

Мінімальний многочлен

Якщо $\alpha$ — алгебраїчне число, то серед всіх многочленів з раціональними коефіцієнтами, для яких $\alpha$ є коренем, існує єдиний многочлен найменшого степеня із старшим коефіцієнтом, рівним $1$. Такий многочлен є незвідним, він називається мінімальним многочленом алгебраїчного числа $\alpha$.

• Степінь мінімального многочлена $\alpha$ називається степенем алгебраїчного числа $\alpha$.
• Інші корені мінімального многочлена $\alpha$ називаються спряженими до $\alpha$.
• Висотою алгебраїчного числа $\alpha$ називається найбільша з абсолютних величин коефіцієнтів в незвідному і примітивному многочлені з цілими коефіцієнтами, для якого $\alpha$ є коренем.

Мінімальний многолен числа $\alpha$ має коефіцієнти цілі числа тоді і тільки тоді, коли $\alpha$ — ціле алгебраїчне число.

Приклади

• Раціональні числа, і лише вони, є алгебраїчними числами 1-го степеня.
• Уявна одиниця $i$ так само як $\sqrt{2}$ є алгебраїчними числами 2-го степеня. Спряженими до цих чисел є відповідно $-i$ та $-\sqrt{2}$.
• При будь-якому натуральному $n$, $\sqrt[n]{2}$ є алгебраїчним числом $n$-го степеня.

Поле алгебраїчних чисел

Однією з найважливіших властивостей алгебраїчних чисел є той факт, що вони утворюють поле, тобто якщо $\alpha$ і $\beta$ — алгебраїчні числа то їх обернені елементи $-\alpha$ і ${\alpha }^{-1}$, а також сума $\alpha +\beta$ і добуток $\alpha \beta$ також є алгебраїчними числами.

Доведення

• Спершу доведемо алгебраїчність $-\alpha$. Якщо $f(x)$ — многочлен з цілими коефіцієнтами для якого $\alpha$ є коренем, то $-\alpha$ буде коренем многочлена $-f(x)$. Тобто $-\alpha$ — алгебраїчне число.

• Якщо $\alpha$ — корінь многочлена $f(x)=\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k\in \mathbb{Z}[x]$, то ${\alpha }^{-1}$ є коренем многочлена $g(x)=\sum _{k=0}^n{a}_{n-k}{x}^k\in \mathbb{Z}[x]$, отже ${\alpha }^{-1}$ теж є алгебраїчним числом.

• Доведемо тепер алгебраїчність $\alpha +\beta$. Припустимо α є коренем многочлена $f(x)\in \mathbb{Z}[x]$ і $\beta$ є коренем многочлена $g(x)\in \mathbb{Z}[x]$. Нехай ${\alpha }_1=\alpha ,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ — всі корені $f(x)$ (враховуючи їх кратність, так що степінь $f(x)$ рівний $n$) і нехай ${\beta }_1=\beta ,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_m$ — всі корені $g(x)$. Розглянемо многочлен:

$F(x)=\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^m(x-({\alpha }_i+{\beta }_j))$.

Множина $R=\mathbb{Z}[{\beta }_1,\dots ,{\beta }_m]$ є комутативним кільцем. З теореми Вієта випливає, що коефіцієнти $F(x)$ є симетричними многочленами від чисел ${\alpha }_1=\alpha ,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$. Тому якщо, ${\sigma }_1,{\sigma }_2,\dots ,{\sigma }_n$ — елементарні симетричні многочлени від ${\alpha }_1=\alpha ,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ і $A$ — деякий коефіцієнт (при $x^k$) многочлена $F(x)$, тоді з фундаментальної теореми про симетричні многочлени випливає, що $A=B({\sigma }_1,{\sigma }_2,\dots ,{\sigma }_n,{\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n)$ для деякого многочлена $B$ з цілими коефіцієнтами. Проте коефіцієнти $F(x)$ також є симетричними многочленами від чисел ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_m$. Нехай $R=\mathbb{Z}[{\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n]$ і ${{\sigma }_1}^{\prime },{{\sigma }_2}^{\prime },\dots ,{{\sigma }_n}^{\prime }$ — елементарні симетричні многочлени від ${\beta }_1=\beta ,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_m$ тому з фундаментальної теореми про симетричні многочлени $A=B^{\prime }({\sigma }_1,{\sigma }_2,\dots ,{\sigma }_n,{{\sigma }_1}^{\prime },{{\sigma }_2}^{\prime },\dots ,{{\sigma }_m}^{\prime })$ для деякого многочлена $B^{\prime }$ з цілими коефіцієнтами. З теореми Вієта випливає, що всі ${\sigma }_1,{\sigma }_2,\dots ,{\sigma }_n,{{\sigma }_1}^{\prime },{{\sigma }_2}^{\prime },\dots ,{{\sigma }_m}^{\prime }$ є раціональними і тому раціональним є також коефіцієнт $A$. Тому $F(x)\in \mathbb{Q}[x]$ і оскільки $\alpha +\beta$ є коренем $F(x)$ це число є алгебраїчним.

• Алгебраїчність числа $\alpha \beta$ доводиться аналогічно до випадку $\alpha +\beta$, розглядаючи многочлен:

$F(x)=\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^m(x-({\alpha }_i{\beta }_j))$.

Властивості

• Множина алгебраїчних чисел є зліченною (Теорема Кантора).
• Множина алгебраїчних чисел є щільною в комплексній площині.
• Корінь многочлена коефіцієнтами якого є алгебраїчні числа, теж є алгебраїчним числом, тобто поле алгебраїчних чисел є алгебраїчно замкнутим.
• Для довільного алгебраїчного числа $\alpha$ існує таке натуральне $N$, що $N\alpha$ — ціле алгебраїчне число.
• Алгебраїчне число $\alpha$ степеня $n$ має $n$ різних спряжених чисел (включаючи саме число $\alpha$).
• $\alpha$ і $\beta$ спряжені тоді і тільки тоді, коли існує автоморфізм поля $𝔸$, що переводить $\alpha$ у $\beta$.
• В певному розумінні алгебраїчні числа, що не є раціональними не можуть бути достатньо добре наближені раціональними числами. Два результати, що прояснюють суть цього твердження
  • Теорема Ліувіля: якщо $\alpha \in \mathbb{Q}$ є коренем многочлена $f(x)\in \mathbb{Z}[x]$ степінь якого рівний $n$, тоді існує число $A$ залежне від $\alpha$, що

$|\alpha -\left(\frac{a}{b}\right)|>\left(\frac{A}{b^n}\right)$, для довільного раціонального числа $\left(\frac{a}{b}\right)$.

• • Теорема Туе — Зігеля — Рота: якщо $\alpha \in \mathbb{Q}$ є алгебраїчним числом, тоді для довільного $\epsilon$ існує лише скінченна кількість пар цілих чисел $(a,b)$ де $b>0$ для яких:

$|\alpha -\left(\frac{a}{b}\right)|<\left(\frac{1}{b^{(2+\epsilon )}}\right).$

Див. також

• Ціле алгебраїчне число
• Алгебраїчне розширення

Посилання

• Нестеренко Ю.В. Лекции об алгебраических числахШаблон:Недоступне посилання // Конспект курсу лекцій.
• M. Filaseta Algebraic number theory. Instructors notes

Література

• Шаблон:Айленд.Розен.Введение в современную теорию чисел
• Алгебраическая теория чисел / Под ред. Касселса Дж., Фрелиха А. — М., 1969.
• Боревич 3. И.. И. Г. Шафаревич. Теория чисел. — М., 1985.
• Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. — М., 1947.
• Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. М.:Л., 1940.
• Дринфельд Г.И. Трансцендентность чисел пи и е, — Харків, — 1952
• Ленг С, Алгебраические числа, пер. с англ., М., 1966.
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 84 (Second ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97329-X