Зовнішня похідна

Шаблон:Числення Зовнішня похідна у диференціальній геометрії розширює поняття диференціала функції, що є диференціальною формою нульового порядку, на довільні форми вищих порядків. В сучасному виді поняття зовнішньої похідної було введено французьким математиком Елі Картаном.

Зовнішня похідна d має властивість, що d² = 0 і вона використовується для визначення когомології де Рама на диференціальних формах. Інтегрування форм надає природний гомоморфізм з когомології де Рама на сингулярні когомології гладких многовидів. Згідно з теоремою де Рама це відображення є ізоморфізмом.

Визначення

Аксіоматичне визначення

Нехай ${\mathrm{\Omega }}^k(M)$ — множина диференціальних k-форм на гладкому многовиді M. Лінійне відображення $\mathrm{d}:{\mathrm{\Omega }}^k(M)\to {\mathrm{\Omega }}^{k+1}(M)$ називається зовнішньою похідною якщо:

1. Для $p=0$ воно збігається зі звичайним диференціалом функції;
2. $\mathrm{d}({\omega }^k\wedge {\omega }^p)=(\mathrm{d}{\omega }^k)\wedge {\omega }^p+(-1{)}^k{\omega }^k\wedge (\mathrm{d}{\omega }^p)$
3. Для будь-якої форми виконується рівність $\mathrm{d}(\mathrm{d}\omega )=0$.

Для довільного гладкого многовиду відображення з даними властивостями існує і є єдиним.

Визначення за допомогою локальних координат

Для довільної точки $p\in M$ існує окіл цієї точки і координатні функції $(x_1,\dots ,x_n)$ такі що довільну диференціальну k-форму можна записати як

${\omega }^k=\sum _{1\le i_1<\dots <i_k\le n}{f}_{i_1,\dots ,i_k}\mathrm{d}{x}_{i_1}\wedge \dots \wedge \mathrm{d}{x}_{i_k},$ для деяких гладких функцій $f_{i_1,\dots ,i_k}$визначених в цьому околі. Тоді зовнішня похідна в цій точці рівна

$\mathrm{d}{\omega }^k{|}_p=\sum _{1\le i_1<\dots <i_k\le n}\sum _{i=1}^n{\frac{\partial f_{i_1,\dots ,i_k}}{\partial x_i}|}_p\mathrm{d}{x}_i\wedge \mathrm{d}{x}_{i_1}\wedge \dots \wedge \mathrm{d}{x}_{i_k}.$

Інваріантна формула

Якщо $X_0,\dots ,X_k$ — гладкі векторні поля на многовиді, тоді зовнішня похідна визначається за формулою:

$\begin{array}{ccc}\mathrm{d}\omega (X_0,\dots ,X_k)& =& \sum _{i=0}^k(-1{)}^i{X}_i(\omega (X_0,\dots ,{\hat{X}}_i,\dots ,X_k))\\ & +& \sum _{0\le i<j\le k}(-1{)}^{i+j}\omega ([X_i,X_j],X_0,\dots ,{\hat{X}}_i,\dots ,{\hat{X}}_j,\dots ,X_k)\end{array}$

де символ ^ у виразі ${\hat{X}}_i$ означає, що вказане векторне поле не є аргументом відповідної диференціальної форми, а $[.,.]$ позначає дужки Лі векторних полів.

Якщо $\mathrm{\nabla }$ є афінною зв'язністю із нульовим крученням на многовиді, тобто ${\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\mathrm{\nabla }}_{Y}X=[X,Y],$ то зовнішню похідну можна також записати за допомогою оператора коваріантної похідної:

$\mathrm{d}\omega (X_0,\dots ,X_k)=\sum _{i=0}^k(-1{)}^i{D}_{X_i}\omega (X_0,\dots ,{\hat{X}}_i,\dots ,X_k)$

Ця рівність є справедливою, зокрема для зв'язності Леві-Чивіти у рімановій геометрії.

Приклади

1

Нехай Шаблон:Nowrap у базисі 1-форм Шаблон:Nowrap. Зовнішня похідна цієї диференціальної форми рівна:

$\mathrm{d}\sigma =\sum _{i=1}^n\frac{\partial u}{\partial x_i}\mathrm{d}{x}_i\wedge \mathrm{d}{x}_1\wedge \mathrm{d}{x}_2$

$=\sum _{i=3}^n\frac{\partial u}{\partial x_i}\mathrm{d}{x}_i\wedge \mathrm{d}{x}_1\wedge \mathrm{d}{x}_2.$

2

Для 1-форми Шаблон:Nowrap визначеної у R² з використанням попереднього одержується:

$\text{d}\sigma =(\sum _{i=1}^2\frac{\partial u}{\partial x_i}\text{d}{x}_i\wedge \text{d}x)+(\sum _{i=1}^2\frac{\partial v}{\partial x_i}\text{d}{x}_i\wedge \text{d}y)$

$=(\frac{\partial u}{\partial x}\text{d}x\wedge \text{d}x+\frac{\partial u}{\partial y}\text{d}y\wedge \text{d}x)+(\frac{\partial v}{\partial x}\text{d}x\wedge \text{d}y+\frac{\partial v}{\partial y}\text{d}y\wedge \text{d}y)$

$=0-\frac{\partial u}{\partial y}\text{d}x\wedge \text{d}y+\frac{\partial v}{\partial x}\text{d}x\wedge \text{d}y+0$

$=(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y})\text{d}x\wedge \text{d}y.$

Властивості

Якщо Шаблон:Nowrap — гладке відображення і Ω^k — гладкий контраваріантний функтор що присвоює кожному гладкому многовиду множину k-форм на цьому многовиді тоді наступна діаграма комутує:

тобто Шаблон:Nowrap де ƒ* позначає зворотне відображення від ƒ. Отже, d є природним відображенням з Ω^k на Ω^k+1.

Література

• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы / Пер. з франц. Б. К. Калякина, А. Н. Тюріна. Под ред. Б. А. Фукса. — М.: Мир, 1971. — 392 с. Шаблон:Ref-ru
• Isadore Singer, John A. Thorpe Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry Шаблон:Webarchive. — Springer-Verlag, 1967. — ISBN 0-387-90202-3. Шаблон:Ref-en