Мультиплікативна функція

У теорії чисел, мультиплікативна функція — арифметична функція $f(m)$, така що

$f(m_1{m}_2)=f(m_1)f(m_2)$ для будь-яких взаємно простих чисел $m_1$ і $m_2$

$f(1)=1$

При виконанні першої умови, вимога $f(1)=1$ рівносильно тому, що функція $f(m)$ не рівна тотожно нулю.

Слід зазначити, що поза теорією чисел під мультиплікативною функцією розуміють будь-яку функцію $f$, визначену на деякій множині $X$, таку що

$f(x_1{x}_2)=f(x_1)f(x_2)$ для довільних $x_1,x_2\in X$.

У теорії чисел такі функції, тобто функції $f(m)$, для яких умова мультиплікативності виконана для всіх натуральних $m_1,m_2$, називаються цілком мультиплікативними.

Мультиплікативна функція називається сильно мультиплікативною, якщо

$f(p^{\alpha })=f(p)$

для всіх простих $p$ і всіх натуральних $\alpha$.

Приклади

• Функція $\tau (m)$ — число натуральних дільників натурального $m$.
• Функція $\sigma (m)$ — сума натуральних дільників натурального $m$.
• Функція Ейлера $\phi (m)$.
• Функція Мебіуса $\mu (m)$.
• Функція $\frac{\phi (m)}{m}$ є сильно мультиплікативною.
• Степенева функція $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},{\mathrm{Id}}_k(n)=n^k$ є цілком мультиплікативною. Зокрема це ж стосується і її важливих часткових випадків
  • константи $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},1(n)=1$
  • тотожної функції $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{Id}(n)=n$
• $n\mapsto \left(\frac{n}{p}\right)$ — символ Лежандра, як функція від n, при заданому простому числі p.

Властивості

Якщо $f(m)$ — мультиплікативна функція, то функція

$g(m)=\sum _{d|m}f(d)$

також буде мультиплікативною. Навпаки, якщо функція $g(m)$, визначена цим співвідношенням є мультиплікативною, то і початкова функція $f(m)$ також мультиплікативна.

Більш того, якщо $f(m)$ і $g(m)$ — мультиплікативні функції, то мультиплікативною буде і їх згортка Діріхле

$h(m)=\sum _{d|m}f(d)g\left(\frac{m}{d}\right)$

Це випливає з того, що довільне число d, що ділить добуток двох взаємно простих чисел n і m однозначно записується як d=d₁.d₂, де d₁ — дільник числа n, d₂ — дільник числа m. Тоді з визначень можна записати

$(f*g)(n\cdot m)=\sum _{d|nm}f(d)g\left(\frac{nm}{d}\right)=\sum _{d_1|n}\sum _{d_2|m}f(d_1{d}_2)g(\frac{n}{d_1}\cdot \frac{m}{d_2})$.

Якщо f і g — мультиплікативні функції то :

$(f*g)(n\cdot m)=\sum _{d_1|n}\sum _{d_2|m}f(d_1)f(d_2)g\left(\frac{n}{d_1}\right)g\left(\frac{m}{d_2}\right)$,

$(f*g)(n.m)=[\sum _{d_1|n}f(d_1)g\left(\frac{n}{d_1}\right)]\cdot [\sum _{d_2|m}f(d_2)g\left(\frac{m}{d_2}\right)]$,

$(f*g)(n\cdot m)=(f*g)(n)\cdot (f*g)(m)$.

Відносно згортки Діріхле мультиплікативні функції утворюють абелеву групу, нейтральним (одиничним) елементом якої є функція:

$\epsilon (n)=\{\begin{array}{cc}1& n=1\\ 0& n\ne 1\end{array}$

Див. також

• Арифметична функція

Література

• Шаблон:Айленд.Розен.Введение в современную теорию чисел
• Чандрасекхаран К. Арифметические функции, пер. с англ., — М.: «Мир», 1975;