Теорема Ферма про суму двох квадратів

Теорема Ферма про суму двох квадратів в теорії чисел стверджує, що непарне просте число p є сумою двох квадратів

$p=x^2+y^2,$

де x і y — цілі числа, тоді і тільки тоді, коли

$p\equiv 1(\mathrm{mod}4).$

Наприклад, прості числа 5, 13, 17, 29, 37 і 41 рівні 1 за модулем 4, тому вони рівні сумі квадратів:

$5=1^2+2^2,13=2^2+3^2,17=1^2+4^2,29=2^2+5^2,37=1^2+6^2,41=4^2+5^2.$

Натомість прості числа 3, 7, 11, 19, 23 і 31 рівні 3 за модулем 4 і жодне з них не рівне сумі квадратів цілих чисел.

Доведення

Оскільки для довільного парного числа $2n,n\in \mathbb{Z}$ його квадрат $(2n{)}^2=4n^2\equiv 0mod4,$ а для довільного непарного $2n+1,n\in \mathbb{Z}$ відповідно $(2n+1{)}^2=4n^2+4n+1\equiv 1mod4$ то сума квадратів двох цілих чисел за модулем 4 має бути рівною 0, 1 або 2. Відповідно жодне число рівне 3 за модулем 4 (зокрема і таке просте число) не може бути сумою двох квадратів цілих чисел.

Доведення того, що просте число $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ є сумою двох квадратів є складнішим. Наразі відомо досить багато доведень перше з яких опублікував Ейлер.

Перше доведення

Дане доведення вперше дав норвезький математик Аксель Туе.

Основою цього доведення є лема: якщо $n$ є додатним цілим числом і $a$ — ціле число, взаємно просте із $n$, то існують такі цілі числа $0<x,y⩽\sqrt{n}$ для яких або $ax\equiv ymodn$ або $ax\equiv -ymodn.$ Зокрема, як наслідок $n$ є дільником числа $a^2{x}^2-y^2.$

Для доведення цього факту розглянемо усі числа $ax-y$ для $0⩽x,y⩽\sqrt{n}$. Загалом цих чисел є $(\lfloor \sqrt{n}\rfloor +1{)}^2>n,$ а тому хоча б два із них є рівними за модулем $n$. Нехай це числа $a{x}_1-y_1$ і $a{x}_2-y_2.$ Очевидно $x_1\ne x_2$ і $y_1\ne y_2$ і можна вибрати позначення так, що $x_1>x_2.$

Тоді $(a{x}_1-y_1)-(a{x}_2-y_2)=a(x_1-x_2)-(y_1-y_2)\equiv 0modn.$ Якщо позначити $x=x_1-x_2$ і $y=|y_1-y_2|$ то числа $x,y$ задовольняють умови леми.

Згідно теореми Вілсона $(p-1)!\equiv -1modp.$ Якщо $p=4k+1$ то для $1⩽i⩽2k$ маємо $2k+i\equiv -2k-i+1modp$ і тому

$-1\equiv (p-1)!\equiv (2k)!\cdot (-2k)\cdot (-(2k-1))\cdot \dots \cdot -2\cdot -1\equiv ((2k)!{)}^2\cdot (-1{)}^{2k}\equiv ((2k)!{)}^{2}modp.$

Відповідно, якщо позначити $N=(2k)!$, то $p$ є дільником числа $N^2+1.$ Числа $p$ і $N$ є взаємно простими, а тому згідно леми існують числа $0<x,y<\sqrt{p}$ для яких $p$ є дільником числа $N^2{x}^2-y^2.$

Оскільки $p|N^2{x}^2-y^2$ і $p|N^2+1$, то також $p|(N^2+1)x^2-(N^2{x}^2-y^2)=x^2+y^2.$ Але з $0<x,y<\sqrt{p}$ випливає, що $x^2+y^2<2p$ і тому $x^2+y^2=p.$

Друге доведення

Це доведення дане Ріхардом Дедекіндом використовує поняття Гаусових чисел і ідеї комутативної алгебри і алгебричної теорії чисел.

Гаусовими числами називаються комплексні числа виду $a+bi$, де $a,b\in \mathbb{Z}.$ Якщо ввести норму числа як $N(a+bi)=a^2+b^2,$ то із цією нормою гаусові числа утворюють евклідове кільце. Тому, як і довільне евклідове кільце, воно є кільцем головних ідеалів, а тому і факторіальним кільцем. Тобто кожне гаусове число записується як добуток незвідних елементів і кожен незвідний елемент є простим і навпаки.

Якщо $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$, то як і у попередньому доведенні існує ціле число $n$ для якого $n^2+1$ ділиться на $p$ (наприклад $n=(2k)!$, де $p=4k+1$). У кільці гаусових чисел тоді елемент $p$ ділить $n^2+1$, що є добутком елементів $n+i$ і $n-i$. Проте $p$ не ділить жоден із цих множників оскільки елемент уявна частина якого є рівною $\pm \frac{1}{p}$ не є гаусовим числом. Відповідно у кільці гаусових чисел $p$ не є простим елементом і тому не є незвідним. Тобто існують незвідні елементи $q_1,\dots ,q_m$ добуток яких є рівним $p$. Норма усіх цих елементів є більшою, ніж 1 і добуток норм має дорівнювати $N(p)=p^2.$ Єдиний варіант при якому це можливо, якщо $p=q_1{q}_2$ і $N(q_1)=N(q_2)=p.$ Якщо тепер $q_1=x+yi$ то $p=N(q_1)=x^2+y^2,$ що і дає розклад $p$ як суми двох квадратів.

Також у цьому випадку $q_2=x-yi.$ Якщо також $p=t^2+s^2$ є іншим записом числа як суми квадратів, тоді $p=(t+si)(t-si)$ є іншим записом $p$ через незвідні елементи. Але із теорії факторіальних кілець тоді випливає, що $t+si=\pm (x+yi)$ або $t+si=\pm (x-yi).$ У будь-якому випадку тоді $t^2=x^2,s^2=y^2$ і запис $p$ як суми двох квадратів є єдино можливим.

Третє доведення

Коротке доведення теореми, сформульоване одним реченням дав німецький математик Дон Цагір.

Якщо $p=4k+1$ є простим числом і позначаючи скінченну підмножину $S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{N}}^3:x^2+4yz=p\}$ множини трійок натуральних чисел, на $S$ існують дві інволюції. Простіша визначається як $(x,y,z)\mapsto (x,z,y)$, Усі її можливі її нерухомі точки виглядають як $(x,y,y)$ і дають розклади $p$ як суму двох квадратів. Відповідно для доведення теореми достатньо довести наявність хоча б однієї такої нерухомої точки.

Інша інволюція множини $S$ записується як:

$(x,y,z)\mapsto \{\begin{array}{c}(x+2z,z,y-x-z),x<y-z\\ (2y-x,y,x-y+z),y-z<x<2y\\ (x-2y,x-y+z,y),x>2y\end{array}$

Її єдиною нерухомою точкою є $(1,1,k)$. Оскільки всі інші точки розбиваються на пари, елементи яких переводяться один в інший під дією інволюції, то потужність множини $S$ є непарним числом. Але під дією будь-якої інволюції на скінченній множині $S$ елементи множини діляться на пари, елементи яких переводяться один в інший і нерухомі точки. Оскільки множина $S$ має непарну кількість елементів, то будь-яка інволюція має хоча б одну нерухому точку. Зокрема для стандартної інволюції $(x,y,z)\mapsto (x,z,y)$ існує деяка нерухома точка $(x,y,y)$ і тоді $p=x^2+4y^2.$

Твердження для довільних натуральних чисел

Шаблон:Див. також Числа $1=1+0$ і $2=1+1$ є рівними сумі двох квадратів. Також із тотожності Брамагупти:

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)={(ac-bd)}^2+{(ad+bc)}^2$

випливає, що якщо два числа можна записати як суму квадратів, то і їх добуток буде сумою квадратів.

Послідовно використовуючи цю властивість одержується, що будь-яке число простими дільниками якого є число 2 і всі непарні прості числа $p\equiv 1mod4$ може бути записане як сума квадратів.

Також якщо $n=x^2+y^2$, то для довільного цілого числа $m$: $m^{2}n=(mx{)}^2+(my{)}^2$, звідси зокрема будь-яке ціле число у розкладі якого на прості множники, прості числа виду $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ присутні із парними степенями теж може бути записане як сума двох квадратів.

Нехай тепер $p\equiv 3mod4$ є простим числом і $p|(x^2+y^2).$ Тоді також $p|x$ і відповідно також $p|y.$ Справді в іншому випадку числа $x^2$ і $y^2$ є взаємно простими із $p$ і $x^2\equiv -y^{2}modp.$ Тоді згідно малої теореми Ферма:

$1\equiv x^{p-1}\equiv (x^2{)}^{\frac{p-1}{2}}\equiv (-y^2{)}^{\frac{p-1}{2}}\equiv (-1{)}^{\frac{p-1}{2}}{y}^{p-1}\equiv -1modp,$

що є неможливим.

Відповідно якщо таке просте число є дільником числа $n=x^2+y^2$ тоді також $p|x$ і $p|y.$ Звідси, як наслідок $p^2|n.$ Тому якщо деяке число $n$ ділиться на $p$ але не $p^2$ воно не є сумою двох квадратів.

Аналогічно, якщо $n=x^2+y^2$ і $n=p^{2k+1}m$, де $p\equiv 3mod4$ і $m$ не ділиться на $p$, то як і вище $p|x$ і $p|y$ і якщо $x=p{x}_1$ і $y=p{y}_1$, то також $n_1=p^{2k-1}m=x_1^2+y_1^2.$

Продовжуючи цей процес отримуємо після k кроків: $pm=x_k^2+y_k^2,$ що згідно попереднього є неможливим. Отже і число $n=p^{2k+1}m$ не є сумою двох квадратів.

Остаточно твердження теореми для всіх цілих чисел є таким: число $n$ є рівним сумі квадратів двох цілих чисел тоді і тільки тоді коли у розкладі числа $n$ на прості множники, прості числа виду $p\equiv 3mod4$ входять із парними степенями.

Література

• D. A. Cox (1989). Primes of the Form x2+ny2. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-50654-0.