Квадратичне поле

Квадратичне поле — розширення степеня 2 поля раціональних чисел $\mathbb{Q}$. Будь-яке квадратичне поле має вигляд $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$, де $d\in \mathbb{Q},\sqrt{d}\notin \mathbb{Q}$, тобто одержується приєднанням до поля $\mathbb{Q}$ елемента $\sqrt{d}$.

$\mathbb{Q}[\sqrt{d_1}]=\mathbb{Q}[\sqrt{d_2}]⟺d_1=c^2{d}_2$, де $c\in \mathbb{Q}$. Тому будь-яке квадратичне поле має вид $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$, де d — ціле раціональне число вільне від квадратів, що однозначно визначається цим полем. Надалі d вважається саме таким.

При d > 0 поле $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ називається дійсним квадратичним полем, а при d < 0 — уявним полем. Як фундаментальний базис поля $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ тобто базис кільця цілих чисел поля $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ над кільцем цілих раціональних чисел $\mathbb{Z}$, можна взяти

$\{1,\frac{1+\sqrt{d}}{2}\}$ при $d\equiv 1(\mathrm{mod}4)$;

$\{1,\sqrt{d}\}$ при $d\equiv 2,3(\mathrm{mod}4)$.

Дискримінант D поля $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ рівний відповідно d при $d\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ і 4d при $d\equiv 2,3(\mathrm{mod}4)$.

Група одиниць

Уявні квадратичні поля — єдиний тип полів (окрім $\mathbb{Q}$) із скінченною групою одиниць (тобто групою оборотних елементів кільця цілих чисел поля). Ця група має:

• порядок 4 для $\mathbb{Q}[\sqrt{-1}]$ і твірну $\sqrt{-1}$,
• порядок 6 для $\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$ і твірну $(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2})$,
• порядок 2 і твірну (-1) для всіх інших уявних квадратичних полів.

Для дійсних квадратичних полів група одиниць ізоморфна прямому добутку $\{\pm 1\}\times \{ϵ\},$ де $\{\pm 1\}$ — група порядку 2, породжена числом -1, і $\{ϵ\}$ — нескінченна циклічна група, породжена основною одиницею $ϵ$. Наприклад, для поля $\mathbb{Q}[\sqrt{d}],ϵ=1+\sqrt{2}.$

Розклад простих ідеалів

Закон розкладу простих ідеалів в квадратичному полі допускає просте формулювання: полю $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ можна зіставити символ Кронекера — Якобі. Якщо р — просте число і (D, p) = 1, то ідеал $(p)=p{O}_{\mathbb{Q}[\sqrt{d}]}$ простий в $O_{\mathbb{Q}[\sqrt{d}]}$ при $\left(\frac{D}{p}\right)=-1$, і розпадається в добуток двох простих ідеалів при $\left(\frac{D}{p}\right)=1$. Якщо D ділиться на р, то (p) є квадратом деякого простого ідеала.

Група класів ідеалів квадратичного поля вивчена краще, ніж для інших класів полів. У разі уявних квадратичних полів теорема Бруера — 3ігеля показує, що число класів ідеалів прямує до нескінченності при $d\to \mathrm{\infty }$. Є рівно 9 однокласних уявних квадратичних полів, а саме при d = - 1, -2, -3, -7, - 11, -19, -43, -67, -163 (див. дискримінанти Гауса). Для дійсних квадратичних полів невідомо чи є скінченною множина однокласних полів.

Існує нескінченно багато квадратичних полів (як уявних, так і дійсних), число класів яких ділиться на дане натуральне число.

Див. також

• Гаусові числа

Література

• Шаблон:Айленд.Розен.Введение в современную теорию чисел
• Боревич 3. И. Шафаревич. И. Р. Теория чисел. — М., 1985.
• Шаблон:Вейль.Основы теории чисел
• Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. — М.:Л., 1940.
• Алгебраическая теория чисел / Под ред. Касселса Дж., Фрелиха А. — М., 1969.
• Шаблон:Чандрасекхаран.Введение в аналитическую теорию чисел