Символ Кронекера — Якобі

В теорії чисел, символ Кронекера — Якобі $(\frac{a}{n})$ чи (a|n), є узагальненням символу Якобі для всіх цілих чисел n.

Визначення

Нехай n — ненульове ціле число, розклад якого на прості множники має вигляд

u \cdot {p_{1}}^{e_{1}} \dots {p_{k}}^{e_{k}},

де u рівне 1 чи −1 і p_i є простими числами. Нехай a — деяке ціле число. Символ Кронекера (a|n) визначається

(\frac{a}{n}) = (\frac{a}{u}) \prod_{i = 1}^{k} {(\frac{a}{p_{i}})}^{e_{i}} .

Для непарних $p_{i}$ , число (a|p_i) рівне символу Лежандра. (a|2) визначається як

(\frac{a}{2}) = {\begin{matrix} 0 & a \equiv 0 (\mod 2) \\ 1 & a \equiv \pm 1 (\mod 8), \\ - 1 & a \equiv \pm 3 (\mod 8) . \end{matrix}

(a|u) дорівнює 1 коли u = 1. Коли u = −1, визначення має вигляд

(\frac{a}{- 1}) = {\begin{matrix} - 1 & a < 0, \\ 1 & a \geq 0 . \end{matrix}

Остаточно

(\frac{a}{0}) = {\begin{matrix} 1 & a = \pm 1, \\ 0 & a \neq \pm 1 . \end{matrix}

Що визначає значення символу для всіх цілих чисел n.

$(\frac{a}{b}) = 0$ тоді і тільки тоді, коли $(a, b) \neq 1$ (a і b не є взаємно простими)

- при $b \equiv̸ 2 mod 4$ період рівний b, тобто $(\frac{a + b}{b}) = (\frac{a}{b})$

- при $b \equiv 2 mod 4$ період рівний 4b, тобто $(\frac{a + 4 b}{b}) = (\frac{a}{b})$

- при $a \equiv 0; 1 mod 4$ період рівний |a|, тобто $(\frac{a}{b + | a |}) = (\frac{a}{b})$

- при $a \equiv 2; 3 mod 4$ період рівний 4|a|, тобто $(\frac{a}{b + 4 | a |}) = (\frac{a}{b})$