Ціла функція

Ціла функція — функція, голоморфна на всій комплексній площині. Вона розкладається в степеневий ряд:

$f(z)=\sum _{n\ge 0}{a}_n{z}^n,a_n=\frac{f^{(n)}(z)}{n!},$

що є збіжним у всій площині $ℂ$. Прикладами цілих функцій є многочлени, тригонометричні функції, експонента.

Властивості

• Ціла функція, що має на нескінченності полюс, повинна бути многочленом. Таким чином, всі цілі функції, що не є многочленами мають на нескінченності істотно особливу точку. Такі функції називаються трансцендентними цілими функціями.

• Якщо $f(z)\ne 0$ усюди, то $f(z)=e^{P(z)}$, де P(z) — ціла функція.

• Якщо функція приймає значення нуль в скінченній множині точок $z_1,\dots ,z_k$, то:

$f(z)=(z-z_1)\dots (z-z_k)e^{P(z)}$

• У загальному випадку, коли у f(z) має нескінченно багато нулів $z_1,z_2,\dots ,$ має місце представлення:

$f(z)=z^{\lambda }{e}^{P(z)}\prod _1^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z}{a_n})\exp (\frac{z}{a_n}+\frac{1}{2}{\left(\frac{z}{a_n}\right)}^2+\dots +\frac{1}{p_n}{\left(\frac{z}{a_n}\right)}^{p_n}),$

де Р(z) є цілою функцією, а $\lambda =0$, якщо $f(0)\ne 0$ і $\lambda$ рівне кратності нуля z = 0, якщо $f(0)=0$.

• Значеннями довільної цілої функції, не рівної константі, є усі комплексні числа за винятком, можливо одного числа (наприклад значеннями експоненти є всі числа крім нуля).

Порядок і тип цілої функції

Нехай $M_f(r)=\underset{|z|\le r}{\max }|f(z)|.$

Якщо при великих r величина М_f (r) зростає не швидше $r^{\mu }$, то f(z) — многочлен степеня не більшого $\mu$. Відповідно, якщо f(z) не многочлен, то М_f (r) росте швидше будь-якого степеня r. При оцінці зростання М_f (r) в цьому випадку береться як функція порівняння показникова функція.

За визначенням f(z) є цілою функцією скінченного порядку, якщо існує скінченне $\mu$ таке, що

$M_f(r)<\exp (r^{\mu }),r>r_0$

Нижня грань $\rho$ множини чисел $\mu$, що задовольняють цій умові, називається порядком цілої функції f(z).

Порядок обчислюється за формулою

$\rho ={\rho }_f=\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\ln \ln M_f(r)}{\ln r}.$

Якщо f(z) порядку $\rho$ задовольняє умові:

$M_f(r)<\exp (\alpha r^{\mu }),\alpha <\mathrm{\infty },r>r_0$

то кажуть, що f(z) — функція порядку $\rho$ і скінченного типу. Нижня грань $\sigma$ множини чисел $\alpha$, що задовольняють вказаній умові, називається типом цілої функції f(z). Він визначається з формули

${\sigma }_f=\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\ln M_f(r)}{r^{\rho }}.$

Серед цілих функцій скінченного типу розрізняють цілі функції нормального типу $(\sigma >0)$ і мінімального типу $(\sigma =0)$. Якщо умова при визначенні типу не виконується при будь-якому $\alpha <\mathrm{\infty }$, то ціла функція називається цілою функцією максимального, або нескінченного, типу.

Приклади

• Функції $\exp (z)$ і $\sin (z)$ з $\cos (z)$ мають порядок 1.
• Функція Міттаг-Лефлера $f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{\mathrm{\Gamma }(1+\frac{n}{\rho })}$ має порядок $\rho$.

Властивості

• Порядок і тип цілих функцій задовольняють властивості:
  • ${\rho }_{f+g}\le \max ({\rho }_f,{\rho }_g)$
  • ${\rho }_{fg}\le \max ({\rho }_f,{\rho }_g)$
  • ${\sigma }_{f+g}\le \max ({\sigma }_f,{\sigma }_g)$
  • ${\sigma }_{fg}\le {\sigma }_f+{\sigma }_g$

• Нулі $z_1,z_2,\dots ,$ цілої функції f(z) порядку $\rho$ для якої $f(0)\ne 0$ володіють властивістю:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{|z_k{|}^{\rho +ϵ}}<\mathrm{\infty },\mathrm{\forall }ϵ>0.$

• Порядок і тип можна визначити через коефіцієнти розкладу функції в ряд:

• • ${\rho }_f=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{n\ln n}{\ln 1/|a_n|}.$
  • ${\sigma }_f=\frac{1}{\rho e}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}n|a_n{|}^{\rho /n}.$

Функції багатьох змінних

Функція багатьох змінних f(z₁, z₂, ..., z_n) є цілою функцією, якщо вона є голоморфною для $|z_k|<\mathrm{\infty },(k=1,\dots ,n)$. Для неї вводяться поняття порядку і типу (спряжених порядків і типів). Простого представлення у виді нескінченного добутку тут одержати не вдається, тому що на відміну від випадку $n=1$ нулі f(z) не є ізольованими.

Див. також

• Голоморфна функція
• Мероморфна функція
• Теорема Веєрштрасса про цілі функції
• Формула Єнсена
• Числова функція

Література

• Евграфов М. А., Асимптотические оценки и целые функции, 3 изд., М., 1979
• Левин Б. Я., Распределение корней целых функций, М., 1956;
• Ронкин Л. И., Введение в теорию целых функций многих переменных, М., 1971.
• Ralph P. Boas (1954). Entire Functions. Academic Press.

Шаблон:-Шаблон:Math-stub Шаблон:Refimprove Шаблон:Портали