Розмірність Мінковського

Шаблон:UniboxРозмірність Мінковського (Шаблон:Lang-en) обмеженої множини в метричному просторі дорівнює

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{ϵ\to 0}\frac{\ln (N_{ϵ})}{-\ln (ϵ)}$,

де $N_{ϵ}$ — мінімальне число множин діаметра $ϵ$, якими можна покрити множину.

Якщо границя не існує, то можна розглядати верхню та нижню границі і говорити відповідно про верхню і нижню розмірності Мінковського.

Близьким до розмірності Мінковського поняттям є розмірність Хаусдорфа. У багатьох випадках ці розмірності збігаються, хоча існують множини, для яких вони різні.

Приклади

• Розмірність скінченної множини дорівнює нулю, оскільки для неї $\rho (n)$ не перевершує кількості елементів у ній.
• Розмірність відрізка дорівнює 1, тому що необхідно $\lceil a/ϵ\rceil$ відрізків довжини $ϵ$, щоб покрити відрізок довжини $a$. Таким чином,

  $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{ϵ\to 0}\frac{\ln (N_{ϵ})}{-\ln (ϵ)}=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{ϵ\to 0}\frac{\ln a-\ln ϵ}{-\ln ϵ}=1$,

• Розмірність квадрата дорівнює 2, так як число квадратиків з діагоналлю $1/n$, необхідних, щоб покрити квадрат зі стороною $a$, становить приблизно $a^2{n}^2$.
• Розмірність фракталу може бути дробовим числом. Так, розмірність кривої Коха дорівнює $\ln 4/\ln 3$.

• Розмірність множини Мінковського $\{0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots \}$ дорівнює 1/2.

Властивості

• Розмірність Мінковського скінченного об'єднання множин дорівнює максимуму з їх розмірностей. На відміну від розмірності Хаусдорфа, це невірно для зліченного об'єднання. Наприклад, множина раціональних чисел між 0 і 1 має розмірність Мінковського 1, хоча є зліченним об'єднанням одноелементних множин (розмірність кожної з яких дорівнює 0). Приклад замкнутої зліченної множини з ненульовою розмірністю Мінковського наведений вище.
• Нижня розмірність Мінковського будь-якої множини більше або дорівнює його розмірності Хаусдорфа.
• Розмірність Мінковського будь-якої множини дорівнює розмірності Мінковського її замикання. Тому має сенс говорити лише про розмірность Мінковського замкнутих множин.

Див. також

• Розмірність Хаусдорфа
• Фрактал
• Епсилон-ентропія
• Список об'єктів, названих на честь Германа Мінковського

Література

• Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973
• Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах М.: ПОСТМАРКЕТ, 2000