Симплекс

Шаблон:Otheruses Симплекс або n-вимірний тетраедр (від Шаблон:Lang-la — простий) — геометрична фігура, що є багатовимірним узагальненням трикутника і тетраедра. Визначається як опукла оболонка n+1 точок, що не лежать в одній n-1 -вимірній гіперплощині. Ці точки називаються вершинами симплекса.

Формально, симплексом $s$ розмірності $n$ є множина $\{A\},$ яка складається з дійсних функцій $f,$ визначених на множині $\{A\},$ які задовільняють двом умовам:

$\sum _{A}f(A)=1,$ та $f(A)\ge 0.$

Елементи $\{A\}$ є вершинами, а функції $f$ - точками симплекса $s,$ значення яких на вершинах симплекса $s$ називаються барицентричними координатами точки $f.$ Відстань між двома точками $f,\theta$ симплекса $s$ визначається формулою $l(f,\theta )=[\sum _A(f(A)-\theta (A){)}^2{]}^{1/2}.$ Топологічний простір, утворений таким чином, називається простором симплекса $s.$ Барицентричні координати є неперервними функціями на просторі симплекса.

Побудова

Як відомо, через будь-які n точок можна провести (n-1)-площину і існують множини з n+1 точок, через які (n-1)-площину провести не можна. Таким чином n+1 — мінімальна кількість точок в n-просторі, які не лежать в одній (n-1)-площині, і можуть бути вершинами n-многогранника, тобто, n-симплекс являє собою джойн n+1 точок.

Простий n-многогранник з кількістю вершин n+1 називається симплексом. У просторах найменших розмірностей цьому визначенню відповідають 4 фігури:

• 0-симплекс (точка) — 1 вершина;
• 1-симплекс (відрізок) — 2 вершини;
• 2-симплекс (трикутник) — 3 вершини;
• 3-симплекс (тетраедр) — 4 вершини.

Всі ці фігури володіють трьома загальними властивостями:

1. Відповідно до визначення, число вершин у кожної фігури на одиницю більше розмірності простору;
2. Існує загальне правило перетворення фігур нижчої розмірності у фігури вищої розмірності. Воно полягає в тому, що з геометричного центра фігури будується перпендикуляр в наступний вимір, на цьому перпендикулярі будується нова вершина і з'єднується ребрами зі всіма вершинами початкового симплекса;
3. Як випливає з описаної в п. 2 процедури, будь-яка вершина симплекса сполучена ребрами зі всією рештою вершин.

Кількість граней симплекса

Симплекс має n+1 вершин, кожна з яких сполучена ребрами зі всією рештою вершин.

Оскільки всі вершини симплекса сполучені між собою, то тією ж властивістю володіє і будь-яка підмножина його вершин. Це значить, що будь-яка підмножина з L+1 вершин симплекса визначають його L-вимірну грань, і ця грань сама є L-симплексом. Тоді для симплекса число L-вимірних граней рівне числу способів вибрати L+1 вершину з повного набору n+1 вершин.

Позначимо символом K(L, n) число L-вимірних граней в n-многограннику, тоді для n-симплекса

$K(L,n)=C_{n+1}^{L+1},$

де $C_n^m$ — число комбінацій з n по m.

Зокрема, кількість граней найбільшої розмірності рівна кількості вершин і рівна n+1:

$K(0,n)=K(n-1,n)=n+1.$

Стандартний симплекс

Зелений трикутник — стандартний 2-симплекс

Шаблон:ЯкірСтандартний n-симплекс ця підмножина ${ℝ}^{n+1}$, що визначається як:

${\mathrm{\Delta }}^n=\{(t_0,\dots t_n)\mid (\sum _i{t}_i=1)\wedge (\mathrm{\forall }i{t}_i⩾0)\}$

Його вершинами є точки:

e₀=(1, 0 . 0): e₁=(0, 1 . 0)

.

e_n=(0, 0 . 1)

Існує канонічне бієктивне відображення стандартного n-симплекса в будь-якій іншої n-симплекс з координатами вершин $(v_0,v_1,\dots v_n)$:

$(t_0,\dots t_n)\to \sum _i{t}_i{v}_i$

Значення t_i для даної точки називаються її барицентричними координатами.

Зростаючі координати

Альтернативну координатну систему можна визначити взявши:

$\begin{array}{cc}{s}_0& =0\\ s_1& =s_0+t_0=t_0\\ s_2& =s_1+t_1=t_0+t_1\\ s_3& =s_2+t_2=t_0+t_1+t_2\\ & \dots \\ s_n& =s_{n-1}+t_{n-1}=t_0+t_1+\dots +t_{n-1}\\ s_{n+1}& =s_n+t_n=t_0+t_1+\dots +t_n=1\end{array}$

Тоді точки симплекса визначаються векторами з неспадними координатами між 0 and 1:

${\mathrm{\Delta }}_{*}^n=\{(s_1,\cdots ,s_n)\in {ℝ}^n\mid 0=s_0\le s_1\le s_2\le \dots \le s_n\le s_{n+1}=1\}.$

Геометричні властивості

Симплекс називається правильним, якщо всі його ребра мають однакову довжину: наприклад, правильний трикутник або правильний тетраедр. Правильний симплекс завжди є правильним многогранником.

Орієнтований об'єм n-симплекса в n-вимірному евклідовому просторі можна визначити за формулою:

$V=\frac{1}{n!}\det (v_1-v_0,v_2-v_0,\dots ,v_n-v_0)$

Визначник Келі-Менгера дозволяє обчислити об'єм симплекса, знаючи довжини його ребер:

$V^2=\frac{(-1{)}^{n-1}}{2^n(n!{)}^2}\left|\begin{array}{cccccc}0& 1& 1& 1& \dots & 1\\ 1& 0& d_{01}^2& d_{02}^2& \dots & d_{0n}^2\\ 1& d_{10}^2& 0& d_{12}^2& \dots & d_{1n}^2\\ 1& d_{20}^2& d_{21}^2& 0& \dots & d_{2n}^2\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& d_{n0}^2& d_{n1}^2& d_{n2}^2& \dots & 0\end{array}\right|$

де $d_{ij}=|v_i-v_j|$ — відстань між i-й і j-й вершинами, n — розмірність простору. Ця формула — узагальнення формули Герона для трикутників.

Об'єм правильного n-симплекса з одиничною стороною рівний $\frac{\sqrt{n+1}}{n!2^{n/2}}$

Якщо задано $C_{n+1}^2$ додатних дійсних чисел $d_{ij},0\le i,j\le n,$ то симплекс відстань між відповідними вершинами якого рівна цим числам існує тоді і тільки тоді, коли $X^{T}DX<0,\mathrm{\forall }X:\sum _{i=0}^n{x}_i=0,$ де матриця D визначається:

$D=\left(\begin{array}{ccccc}0& d_{01}^2& d_{02}^2& \dots & d_{0n}^2\\ d_{10}^2& 0& d_{12}^2& \dots & d_{1n}^2\\ d_{20}^2& d_{21}^2& 0& \dots & d_{2n}^2\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ d_{n0}^2& d_{n1}^2& d_{n2}^2& \dots & 0\end{array}\right).$

Еквівалентно такий симплекс існує, якщо і тільки якщо квадратна матриця A розмірності n елементи якої визначаються:

$a_{ij}=\{\begin{array}{cc}{d}_{0i}^2,& i=j\\ \frac{d_{0i}^2+d_{0j}^2+d_{ij}^2}{2},& i\ne j\end{array}$

є додатноозначеною. Дана матриця є матрицею Грама для векторів $v_1-v_0,v_2-v_0,\dots ,v_n-v_0.$

Формули для правильного симплекса

Число L-вимірних граней	$K(L,n)=C_{n+1}^{L+1}$
Висота	$H_n=a\sqrt{\frac{n+1}{2n}}$	$H_n=R_n\frac{n+1}{n}$	$H_2=a\frac{\sqrt{3}}{2}$	$H_3=a\frac{\sqrt{6}}{3}$	$H_4=a\frac{\sqrt{10}}{4}$
Об'єм	$V_n=\frac{a^n}{n!}\sqrt{\frac{n+1}{2^n}}$	$V_n=\frac{R_n^n}{n!}\sqrt{{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n}$	$V_2=a^2\frac{\sqrt{3}}{4}$	$V_3=a^3\frac{\sqrt{2}}{12}$	$V_4=a^4\frac{\sqrt{5}}{96}$
Радіус описаної сфери	$R_n=a\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}}$	$a=R_n\sqrt{\frac{2(n+1)}{n}}$	$R_2=a\frac{\sqrt{3}}{3}$	$R_3=a\frac{\sqrt{6}}{4}$	$R_4=a\frac{\sqrt{10}}{5}$
Радіус вписаної сфери	$r_n=\frac{a}{\sqrt{2n(n+1)}}$	$r_n=\frac{R_n}{n}$	$r_2=a\frac{\sqrt{3}}{6}$	$r_3=a\frac{\sqrt{6}}{12}$	$r_4=a\frac{\sqrt{10}}{20}$
Двогранний кут	$\cos \alpha =\frac{1}{n}$

Співвідношення між величинами:

$R_n=H_n\frac{n}{n-1}$

$a^2=H_n^2+R_{n-1}^2$

$V_n=\frac{1}{n}{V}_{n-1}{H}_n$

$r_n=R_n^2-R_{n-1}^2$

Див. також

• Блоковий многогранник
• Симплекс-метод
• Симпліційний комплекс
• Симпліційний многогранник

Література

• О. Шинкаренко, Т. Остапенко: Математика вищого навчання — геометричні знання.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Ланки

• Шаблон:MathWorld