Стискальне відображення

Стискальним відображенням у метричному просторі називається відображення яке, умовно кажучи, зменшує відстані між точками.

Нехай $F\subset 𝕄$ — підмножина метричного простору $(𝕄,\rho )$ і на F визначено відображення $f:F\to F$. Воно називається стискуючим на F, якщо $\mathrm{\exists }\alpha \in (0;1):$ для $\mathrm{\forall }x,y\in F\to \rho (Ax,Ay)⩽\alpha \cdot \rho (x,y)$.

Довільне стискуюче відображення є відображенням Ліпшиця і, як наслідок, рівномірно неперервним відображенням.

Довільне стискальне відображення має щонайбільше одну нерухому точку, тобто точку $x^{*}:f(x^{*})=x^{*}$. Це включає випадки неіснування нерухомих точок. Згідно з теоремою Банаха якщо дане відображення задано на замкнутій підмножині повного метричного простору то існує єдина нерухома точка, причому ітераційна послідовність x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), ... збігається до цієї точки в метриці цього простору.

Див. також

• Коротке відображення

Джерела

• М. І. Жалдак, Г. О. Михалін, С. Я. Деканов. Математичний аналіз. Функції багатьох змінних: Навчальний посібник. — Київ, НПУ імені М. П. Драгоманова, 2007. - 430 с.