Рівність Парсеваля

Шаблон:Otheruses Рівність Парсеваля — аналог теореми Піфагора у векторних просторах з скалярним добутком. Початково подібне твердження для простору періодичних функцій, було сформульоване Парсевалем у 1799 році.

Неформально, рівність стверджує, що сума квадратів коефіцієнтів Фур'є функції дорівнює інтегралу квадрата функції,

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|c_n{|}^2=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}|f(x){|}^{2}dx,$

де коефіцієнти Фур'є c_n для ƒ задаються так

$c_n=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x){\mathrm{e}}^{-inx}dx.$

Формулювання

Якщо X — нормований сепарабельний векторний простір зі скалярним добутком $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ і $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ — відповідна йому норма і $\{e_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ — ортонормована система в X , тобто

$⟨e_m,e_n⟩=\{\begin{array}{cc}1& \text{if}m=n\\ 0& \text{if}m=n.\end{array}$

то рівністю Парсеваля для елемента $x\in X$ називається рівність

$\Vert x{\Vert }^2=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{|⟨x,e_k⟩|}^2.$

Виконання рівності Парсеваля для даного елементу $x\in X$ є необхідною і достатньою умовою того, щоб ряд Фур'є цього елементу по ортонормованій системі $\{e_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ сходився до самого елемента x по нормі простору X. Виконання рівності Парсеваля для будь-якого елемента $x\in X$ є необхідною і достатньою умовою для того, щоб ортогональна система $\{e_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ була повною системою в X.

Гільбертові простори

Нехай дано сепарабельний гільбертів простір $(H,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$, де $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ — скалярний добуток, визначений на множині $H$. Тоді якщо $\{e_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ — ортонормований базис в $H$, то рівність Парсеваля виконується для всіх $x\in H.$

Також, якщо $x,y\in H.$ і $a_n=⟨x,a_n⟩$ і $b_n=⟨x,b_n⟩,$ то:

$⟨x,y⟩=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\overline{b_n}$

Рівність Парсеваля узагальнюється і на випадок несепарабельних гільбертових просторів: якщо $\{e_k{\}}_{k\in B}$ (для деякої множини індексів B), є повною ортонормованою системою гільбертового простору X, то для будь-якого елементу $x\in X$ справедлива рівність Парсеваля:

$\Vert x{\Vert }^2=⟨x,x⟩=\sum _{v\in B}{|⟨x,v⟩|}^2.$

Див. також

• Нерівність Бесселя

Посилання

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1
• Вагін П., Остудін Б., Шинкаренко Г. Основи функціонального аналізуШаблон:Недоступне посилання