Правило добутку

Шаблон:Числення Правило добутку — характерна властивість диференціальних операторів, також відома як тотожність Лейбніца.

δ (f \times g) = (δ f) \times g + f \times (δ g)

Найважливішим і найпростішим прикладом є диференціювання функцій дійсної змінної. Якщо $f, g$ — дві диференційовні функції, то:

(f \cdot g)^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}

Подібна формула справедлива і для голоморфних функцій комплексної змінної.

Окрім аналізу диференціальні оператори часто виникають в диференціальній геометрії, абстрактній алгебрі, теорії груп Лі.

Доведення для функцій дійсної змінної

Нехай $h (x) = f (x) g (x)$ , і функції f, g — диференційовні в точці x. Тоді з властивостей границь одержуються наступні рівності, які доводять правило добутку для функцій дійсної змінної:

h^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{h (x + Δ x) - h (x)}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) g (x + Δ x) - f (x) g (x)}{Δ x}

= \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) g (x + Δ x) - f (x) g (x + Δ x) + f (x) g (x + Δ x) - f (x) g (x)}{Δ x}

= \lim_{Δ x \to 0} \frac{[f (x + Δ x) - f (x)] \cdot g (x + Δ x) + f (x) \cdot [g (x + Δ x) - g (x)]}{Δ x}

= \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} \cdot \lim_{Δ x \to 0} g (x + Δ x) + \lim_{Δ x \to 0} f (x) \cdot \lim_{Δ x \to 0} \frac{g (x + Δ x) - g (x)}{Δ x}

= f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)

.

Варіації та узагальнення

Нехай $f_{1}, \dots, f_{k}$ — деякі k елементів на яких діє оператор диференціювання (наприклад функції дійсної змінної диференційовні в певній точці для прикладу звичайної похідної). Тоді за допомогою математичної індукції правило добутку можна узагальнити для випадку добутку 'k' елементів:

δ [\prod_{i = 1}^{k} f_{i} (x)] = \sum_{i = 1}^{k} (δ (f_{i} (x)) \prod_{j \neq i} f_{j} (x)) .

Позначивши $δ^{2} (f) = δ (δ (f)), δ^{3} (f) = δ (δ^{2} (f))$ і т. д. для оператора $δ^{n}$ справедлива формула аналогічна до формули бінома Ньютона:

δ^{n} (f g) = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} \cdot δ^{k} (f) \cdot δ^{n - k} (g) .

Для випадку добутку багатьох елементів справедлива формула аналогічна до формули мультинома:

δ^{n} (\prod_{i = 1}^{k} f_{i}) = \sum_{j_{1} + j_{2} + . . . + j_{k} = n} (\binom{n}{j_{1}, j_{2}, . . ., j_{k}}) \prod_{i = 1}^{k} δ^{i} f_{i} .

Формули для похідних добутку функцій можна узагальнити на випадок функцій багатьох змінних. Нехай $f (x_{1}, \dots, x_{n})$ і $g (x_{1}, \dots, x_{n})$ є дійсними функціями n дійсних змінних, диференційовними необхідну кількість разів по різних змінних, $α = (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n})$ і за означенням $\partial^{α} (f) = \partial_{1}^{α_{1}} \partial_{2}^{α_{2}} \dots \partial_{n}^{α_{n}} (f) = \frac{\partial^{| α |} f}{\partial x_{1}^{α_{1}} \partial x_{2}^{α_{2}} \dots \partial x_{n}^{α_{n}}} .$ Тоді
$\partial^{α} (f g) = \sum_{ν ⩽ α} (\binom{α}{ν}) \partial^{ν} f \partial^{α - ν} g .$ Означення біноміальних коефіцієнтів, факторіалів для мультиіндексів дано у статті Мультиіндекс.
Операція $δ_{l} : \oplus_{k} Ω^{k} \to \oplus_{k} Ω^{k + l}$ на градуйованій алгебрі $Ω = \oplus_{k} Ω^{k}$ задовольняє градуйованій тотожності Лейбніца, якщо для будь-яких $K \in Ω^{k}$ , $F \in Ω$

δ_{l} (K \land F) = δ_{l} (K) \land F + (- 1)^{k l} K \land δ_{l} (F)

де

\land

— множення в

Ω

. Більшість диференціювань на алгебрі диференціальних форм задовольняє цій тотожності.

Джерела

Шаблон:Math-stub

Правило добутку

Доведення для функцій дійсної змінної

Варіації та узагальнення

Джерела

Навігаційне меню

Пошук