Міра Гаусдорфа

Міра Гаусдорфа — збірна назва класу мір, визначених на борелівській $\sigma$-алгебрі $ℬ(X)$ метричного простору $X$.

Визначення

Ф. Гаусдорф розглядав деякий клас $𝒰$ відкритих множин $X$, на якому визначив невід'ємну функцію $l=\{l(A)\mid A\in 𝒰\}$ і

$\lambda (B,\epsilon )=\inf \{\sum _{i=1}^{n}l(A_i)\},$

де нижня межа береться по всіх скінченних або зліченних покриттях борелівської множини $B\subset X$ множинами з $𝒰$ з діаметром, що не перевищує $\epsilon$, тобто

$B\subset \bigcup _{i=1}^n{A}_i\in 𝒰$

і

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}{A}_i⩽\epsilon ,n=1,2,\dots$

Мірою Гаусдорфа $\lambda$, що визначається класом $𝒰$ і функцією $l$, називається межа

$\lambda (B)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\lambda (B,\epsilon ).$

Приклади

1. Нехай $𝒰$ — сукупність всіх куль на $X$, a $l(A)=(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}A{)}^{\alpha }$, де $\alpha >0$. Тоді відповідна міра $\lambda$ буде називатися $\alpha$-мірою Гаусдорфа. При $\alpha =1$ така міра буде називатися лінійною мірою Гаусдорфа, а при $\alpha =2$ — пласкою мірою Гаусдорфа.
2. Якщо $X={ℝ}^{n+1}$, $𝒰$ — сукупність циліндрів з кульовими основами і осями, паралельними до напрямку осі $x_{n+1}$ и $l(A)$ рівна $n$-мірному об'єму осьового перерізу циліндра $A\in 𝒰$, то відповідна міра Гаусдорфа називається циліндричною мірою.

Література

• Шаблон:Книга.