Теорема Рімана про відображення

Теорема Рімана про відображення — теорема у комплексному аналізі, що стверджує, що для довільної однозв'язної відкритої підмножини $U$ комплексної площини $ℂ$, що не збігається з усією $ℂ$, існує бієктивне голоморфне відображення $f$ із множини $U$ на відкритий одиничний круг $D$

$f:U\to D$

де

$D=\{z\in ℂ:|z|<1\}.$

Зауваження

Голоморфна функція, що є взаємно-однозначною (тобто оборотною), є конформним відображенням, так що теорему можна формулювати в термінах конформної еквівалентності. Також, не має значення, стверджувати про існування функції $f:D\to U$ або оберненої $f^{-1}:U\to D$. Можна навіть вимагати існування відображення з будь-якої однозв'язної області в будь-яку іншу однозв'язну — твердження теореми від цього не стане сильнішим.

Дана теорема здається парадоксальною, оскільки умови на область є чисто топологічними і ніяк не обумовлюють геометрію її межі. Насправді, порівняно легко будуються конформні відображення круга не тільки на многокутники і подібні фігури, але і області на зразок круга з одним вирізаним радіусом і т. д. Можна навіть побудувати функцію на кругу, образ якої має ніде не гладку межу. Втім, Ріман зумів довести теорему лише в припущенні кускової гладкості межі.

Єдиність відображення

Оскільки одиничний круг легко нетотожно конформно відобразити на себе, то шукане конформне відображення єдиним бути не може. Проте, легко бачити, що вся неоднозначність в побудові відображення відноситься до автоморфізмів одиничного круга, які утворюють дійсну 3-мірну групу Лі. Зокрема, якщо $z_0$ — елемент множини $U$ і φ — довільний кут, тоді існує єдине відображення $f$ із теореми Рімана, яке додатково задовольняє умовам $f$ відображає $z_0$ в $0$ і аргумент похідної $f$ в точці $z_0$ рівний куту φ.

Доведення

Доведемо, що в $D$ існує хоча б одна голоморфна і ін'єктивна функція, що по модулю є меншою 1. За умовою межа $\partial D$містить дві різні точки $\alpha ,\beta .$ Квадратний корінь $\sqrt{\frac{z-\alpha }{z-\beta }}$має аналітичне продовження вздовж будь-якого шляху в області $D$ і оскільки ця область є однозв'язною, то за Шаблон:Нп цей корінь допускає виділення в $D$ двох однозначних гілок ${\phi }_1$ і ${\phi }_2,$що відрізняються знаком.

Кожна з цих гілок є ін'єктивною в $D$, бо з рівності ${\phi }_i(z_1)={\phi }_i(z_2)$випливає рівність

$\frac{z_1-\alpha }{z_1-\beta }=\frac{z_2-\alpha }{z_2-\beta },$

а з неї, зважаючи на ін'єктивність дробово-лінійної функції, рівність $z_1=z_2$. Ці гілки відображають $D$відповідно на області ${\overline{D}}_1={\phi }_1(D)$ і ${\overline{D}}_2={\phi }_2(D)$, які не мають спільних точок, бо в іншому випадку знайшлися б точки $z_1,z_2\in D$ такі, що ${\phi }_1(z_1)={\phi }_2(z_2)$, але з останнього рівності знову випливає рівність $z_1=z_2$, а тому ${\phi }_1(z_1)={\phi }_2(z_1)=-{\phi }_1(z_1),$що неможливо оскільки ${\phi }_1(z)\ne 0$ для всіх $z\in D.$

Область ${\overline{D}}_2$ містить деякий круг $\{|w-w_0|<\rho \},$а тому ${\phi }_1$ в $D$не набуває значень з цього кола. Тому функція

$g(z)=\frac{\rho }{{\varphi }_1(z)-w_0},$

очевидно є голоморфною і ін'єктивною і обмеженою в $D$:

$g(z)⩽1,\mathrm{\forall }z\in D.$

Позначимо як $S$ сім'ю всіх голоморфних і ін'єктивних в $D$ функцій, по модулю всюди менших 1. Ця

сім'я є непустою, бо містить функцію $g(z)$ і по теоремі Монтеля вона є нормальною. Оскільки $g(z)$ є ін'єктивною в $D$, то у довільній точці $|g^{\prime }(z)|>0.$ Підсім'я $S_1$ сім'ї $S$, до якої належать усі функції з $S$для яких

$|f^{\prime }(a)|⩾|g^{\prime }(a)|>0$

в деякій фіксованій точці $a\in D$ є нормальною. Також якщо послідовність функцій $f_n\in S_1$ збігається рівномірно на компактних підмножинах $D$то границя цієї послідовності належить $S_1$.

Дійсно з наслідку теореми Гурвіца границя послідовності функцій $f_n\in S_1$, що сходиться рівномірно на будь-якій компактній підмножині $K\subset D$, може бути лише ін'єктивною функцією або константою але останній випадок виключений нерівністю $|f^{\prime }(a)|>0$. Також якщо $|f{\text{'}}_n(a)|⩾|g^{\prime }(a)|$ для елементів цієї послідовності, то і для граничної функції $|f^{\prime }(a)|⩾|g^{\prime }(a)|.$ Отож також і $f\in S_1.$

Розглянемо на $S_1$ функціонал $J(f)=|f^{\prime }(a)|.$ Він є неперервним адже для рівномірно збіжної на компактах послідовності $f_n\in S_1$ із границею $f\in S_1$, послідовність похідних $f{\text{'}}_n$ теж рівномірно на компактах збігається до $f^{\prime },$ зокрема $f{\text{'}}_n(a)=f^{\prime }(a).$

Оскільки $S_1$є компактною (у просторі голоморфних функцій із компактно-відкритою топологією) множиною то існує функція $f_0\in S_1$на якій цей функціонал досягає максимуму, тобто така, що для всіх $f\in S_1$ виконується нерівність $f^{\prime }(a)⩽{f_0}^{\prime }(a).$

Оскільки функція $f_0\in S_1,$ то вона конформно відображає $D$ в одиничний круг $U$. Також $f_0(a)=0$ оскільки в іншому випадку в $S_1$ була б функція

$h(z)=\frac{f_0(z)-f_0(a)}{1-\overline{f_0(a)}{f}_0(z)},$

для котрої

$|h^{\prime }(a)|=\frac{1}{1-|{f_0}^{\prime }(a){|}^2}|{f_0}^{\prime }(a)|>|{f_0}^{\prime }(a)|,$

що суперечить означенню функції $f_0$.

Функція $f_0$ відображає $D$ на весь круг $U$. Справді, нехай $f_0$не приймає в $D$деякого значення $b\in U$. Оскільки $f_0(a)=0$, то $b\ne 0$. Але і значення $b_1=1/\overline{b}$ не приймається цією функцією в $D$ (оскільки $|b_1|>1$), і, отже, по теоремі про монодромію в $D$можна виділити однозначну гілку кореня

$\psi (z)=\sqrt{\frac{f_0(z)-b}{1-\overline{b}{f}_0(z)}}$

яка належить $S$. Але тоді $S$ належить і функція

$k(z)=\frac{\psi (z)-\psi (a)}{1-\overline{\psi (a)}\psi (z)},$

для котрої

$|k^{\prime }(a)|=\frac{1+|b|}{2\sqrt{|b|}}|{f_0}^{\prime }(a)|.$

Але $1+|b|>2\sqrt{b}$ бо $|b|<1$, тобто $k\in S_1$ і $|k^{\prime }(a)|>|{f_0}^{\prime }(a)|,$що суперечить означенню функції $f_0$.

Узагальнення

Якщо замість області на комплексній площині розглядати область на довільній ріманової поверхні, то ми приходимо до часткового випадку теореми про уніформізацію:

для довільної однозв'язної відкритої підмножини $U$ ріманової поверхні існує бієктивне голоморфне відображення ($f$ із множини $U$ на одну з множин:

• ріманову сферу;
• комплексну площину;
• одиничний круг.

Спроби узагальнити дану теорему на дійсну конформну геометрію в розмірностях вище 2, як і на комплексну геометрію в розмірностях вище 1, використовуючи поняття голоморфного відображення, до особливих успіхів не привели. Доведено, що і в тому і іншому випадку для еквівалентності областей вже недостатньо чисто топологічних умов. У будь-якому випадку, такі загальні твердження про еквівалентність областей в багатовимірних просторах науці не відомі.

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Бернгарда Рімана
• Теорема Гурвіца
• Теорема Монтеля

Джерела

• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• John B. Conway, Functions of one complex variable, Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90328-3
• Reinhold Remmert, Classical topics in complex function theory, Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98221-3
• Шаблон:PlanetMath