Теорія операторів

Теорія операторів — розділ функціонального аналізу, який вивчає властивості неперервних лінійних відображень між нормованими просторами. Взагалі кажучи, оператор — це аналог звичайної функції або матриці в скінченновимірному просторі. Але оператор може діяти і в нескінченновимірних просторах.

Відображення $T$ з векторного простору $X$ у векторний простір $Y$ називається лінійним оператором, якщо $T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y)$ для будь-яких $x$ і $y$ із $X$ і будь-яких скалярів $\alpha$ і $\beta$. Часто пишуть $Tx$ замість $T(x)$. Лінійний оператор з нормованого простору $X$ в нормований простір $Y$ називається обмеженим, якщо знайдеться додатне дійсне число $M$ таке, що для всіх $x\in X$ $\Vert Tx\Vert \le M\Vert x\Vert$. Найменша така константа $M$, яка задовольняє цій умові, називається нормою оператора $T$ і позначається $\Vert T\Vert$. Неважко бачити, що лінійний оператор між нормованими просторами обмежений тоді і тільки тоді, коли він неперервний. Під терміном «оператор» у функціональному аналізі зазвичай розуміють обмежений лінійний оператор.

Множина всіх (обмежених лінійних) операторів із нормованого простору $X$ в нормований простір $Y$ позначається $L(X,Y)$. У випадку, коли $X=Y$ пишуть $L(X)$ замість $L(X,X)$. Якщо $H$ — Гільбертів простір, то зазвичай пишуть $B(H)$ замість $L(H)$. На $L(X,Y)$ можна ввести структуту векторного простору через $(T+S)x=Tx+Sx$ і $T(\alpha x)=\alpha (Tx)$, де $T,S\in L(X,Y)$, а $\alpha$ — довільний скаляр. З введеною вище операторною нормою, $L(X,Y)$ перетворюється на нормований простір.

Зокрема, $\Vert S+T\Vert \le \Vert S\Vert +\Vert T\Vert$ і $\Vert \alpha T\Vert =|\alpha |\cdot \Vert T\Vert$ для будь-яких $T,S\in L(X,Y)$ і довільного скаляра $\alpha$. Простір $L(X,Y)$ є Банаховим тоді і тільки тоді, коли $Y$ — Банахів.

Нехай $X$, $Y$ і $Z$ — нормовані простори, $T\in L(X,Y)$ і $S\in L(X,Y)$. Композиція $S$ і $T$ позначається $TS$ і називається «добутком» операторів $S$ та $T$. Відмітимо, що $TS\in L(X,Z)$ і $\Vert TS\Vert \le \Vert T\Vert \cdot \Vert S\Vert$. Якщо $X$ — Банахів простір, то $L(X)$ з введеним вище множенням є Банаховою алгеброю.

У «теорії операторів» можна виділити декілька основних розділів:

1. Спектральна теорія вивчає спектр оператора.
2. Класи операторів. Зокрема, компактні оператори, Фредгольмові оператори, ізоморфізми, ізометрії, строго сингулярні оператори тощо. Вивчають також необмежені оператори і частково визначені оператори, зокрема замкнуті оператори.
3. Оператори на спеціальних нормованих просторах.
   • На Гільбертових просторах вивчають самоспряжені, нормальні, унітарні, додатні оператори та ін.
   • На функціональних просторах: диференціальні, псевдодиференціальні, інтегральні, і псевдоінтегральні оператори; оператори множення, підстановки, підстановки з вагою та ін.
   • На Банахових решітках: додатні оператори, регулярні оператори тощо.
4. Сукупності операторів (тобто, підмножини $L(X)$): операторна алгебра, операторні напівгрупи та ін.
5. Теорія інваріантних підпросторів.