Теорема Піка

Шаблон:Color, Шаблон:Color, Шаблон:Math

Трикутник з вершинами в нижній лівій, нижній правій, та верхній правій точках Шаблон:Math та Шаблон:Math, відповідно до теореми Піка Шаблон:Math; це підтверджує формулі площі для трикутника Шаблон:Nowrap = Шаблон:Nowrap = 18.

Щодо відповідної теореми в комплексномі аналізі див. Теорема Піка (комплексний аналіз).

Якщо розглянути простий многокутник, побудований на сітці рівновіддалених точок (тобто точок з цілими координатами), так, що всі вершини многокутника є точками сітки, теорема Піка дає просту формулу для обчислення площі $S$ цього многокутника, за кількістю $i$ (точок решітки усередині фігури) і кількістю $b$ (точок решітки), розміщених по периметру многокутника:

$S=i+\frac{b}{2}-1.$

У наведеному прикладі маємо Шаблон:Math (внутрішніх точок) і Шаблон:Math (граничних точок), так що площа $A$ = 7 + Шаблон:Sfrac − 1 = 7 + 4 − 1 = 10 квадратних одиниць.

Вищенаведена теорема справедлива лише для простих многокутників, тобто для тих, які складаються з єдиної межі, без перетинів і дірок. Для загального многокутника формула Піка має такий вигляд:

$S=v-\frac{1}{2}{e}_b+h-1$,

де $v$ — кількість вершин всередині і на межі многокутника, $e_b$ — кількість точок решітки на межі многокутника, і $h$ — кількість дірок у многокутнику.

Як приклад розглянемо многокутник, побудований за допомогою точок $(0,0),(2,0)$. Він має 3 вершини, 0 отворів і 0 область. Щоб формула працювала, повинно бути 4 ребра. Таким чином, треба просто порахувати кожен край двічі, один раз на кожній стороні.Шаблон:Джерело

Результат вперше описав Георг Александр Пік в 1899. Тетраедр Ріва демонструє, що немає аналогу теореми Піка в розмірності три, яка виражає об'єм многогранника через кількість внутрішніх і граничних точок. Однак є узагальнення для вищих розмірностей через многочлен Ергарта.

Доведення

Розглянемо многокутник $P$ і трикутник $T$, що має з $P$ одне спільне ребро. Припустимо, що теорема Піка справедлива як для $P$, так і для $T$ незалежно один від одного; ми хочемо показати, що це також справедливо для многокутника $PT$, отриманого шляхом додавання $T$ до $P$. Оскільки $P$ і $T$ маю одне спільне ребро, всі граничні точки уздовж цього ребра стають внутрішніми точками, за винятком двох кінцевих точок, які об'єднуються з граничними точками. Отже, якщо $C$ кількість спільних граничних точок, то маємо:

$i_{PT}=i_P+i_T+(c-2)$

і

$b_{PT}=b_P+b_T-2(c-2)-2.$

З вищезазначеного випливає:

$i_P+i_T=i_{PT}-(c-2)$

і

$b_P+b_T=b_{PT}+2(c-2)+2.$

Оскільки ми припускаємо виконання теореми і для $P$ і для $T$, то:

$\begin{array}{cc}{S}_{PT}& =S_P+S_T\\ & =(i_P+\frac{b_P}{2}-1)+(i_T+\frac{b_T}{2}-1)\\ & =i_P+i_T+\frac{b_P+b_T}{2}-2\\ & =i_{PT}-(c-2)+\frac{b_{PT}+2(c-2)+2}{2}-2\\ & =i_{PT}+\frac{b_{PT}}{2}-1.\end{array}$

Тому, якщо теорема справедлива для многокутників побудованих з $n$ трикутників, вона справедлива і для многокутників, що побудовані з Шаблон:Mathтрикутника. Добре відомо, що довільний многокутник можна розбити на симплекси тріангуляція. Це тривіальний факт у випадку площини. Для завершення доведення методом математичної індукції достатньо довести її у випадку трикутників. Перевірку цього випадку здійснюється за допомогою наступних коротких кроків:

• припускаємо, що формула справедлива для будь-якого одиничного квадрата (з вершинами, що мають цілі координати);
• на основі цього виводимо, що формула є справедливою для будь-якого прямокутника зі сторонами парелельними осям;
• отримуємо формулу для прямокутних трикутників, отриманих шляхом розрізання таких прямокутників по діагоналі;
• тепер будь-який трикутник можна перетворити на прямокутник, приєднавши такі прямокутні трикутники; оскільки формула виконується для прямокутних трикутників і для прямокутника, вона також буде виконуватися для початкового трикутника.

На останньому кроці застосовується той факт, що якщо теорема справедлива для многокутника $PT$ і для трикутника $T$, то це також має місце для многокутника $P$; це можна побачити на основі обчислень, які подібні до наведених вище.

Нерівність для опуклих множин

Нехай $C$ — обмежена, опукла область в ${ℝ}^2$, не обов'язково замкнена. Тоді:

$|L(C)|\le \text{площа}(C)+\frac{1}{2}\text{периметр}(C)+1$,

де $L(C)$ — це набір точок решітки в $C$, і $|L(C)|$ — їх кількість. Рівність має місце тоді і лише тоді, коли $C$ — замкнений многокутник решітки. Для доведення розглянемо опуклий оболонку $\overline{C}$ для $L(C)$, яку слід розуміти як наближення решітки для області $C$, а потім застосуємо до неї теорему Піка:

$\begin{array}{cc}|L(C)|=|L(\overline{C})|& =\text{площа}(\overline{C})+\frac{1}{2}B(\overline{C})+1\\ & \le \text{площа}(\overline{C})+\frac{1}{2}\text{периметр}(\overline{C})+1\\ & \le \text{площа}(C)+\frac{1}{2}\text{периметр}(C)+1,\end{array}$

де $B(\overline{C})$ — кількість граничних точок $\overline{C}$, що дорівнює кількості його ребер, і оскільки кожне ребро має мінімальну довжину 1, то:

$B(\overline{C})\le \text{периметр}(\overline{C})$.

Перехід $\text{периметр}(\overline{C})\le \text{периметр}(C)$ використовує властивість, що між двома вкладеними, опуклими, замкнутими кривими, внутрішня крива буде коротшою на основі прямого застосування формули Крофтона.

Формула залишається справедливою і у виродженому випадку, коли $L(C)$ знаходиться на одній лінії. Потрібно просто порахувати кожен ребро двічі (по одному разу з кожної сторони).

Див. також

• Шаблон:Не перекладено
• Шаблон:Не перекладено
• Послідовність Фарі
• Многочлен Ергарта