Теорема Гріна

Шаблон:Числення Теорема Гріна встановлює зв'язок між криволінійним інтегралом по замкнутому контуру $C$ і подвійним інтегралом по області $D$, обмеженій цим контуром. Фактично, ця теорема є окремим випадком загальнішої теореми Стокса. Теорема названа на честь англійського математика Джорджа Гріна.

Формулювання

$D$ — область, обмежена замкнутою кривою $C$

Нехай $C$ — додатно орієнтована кусково-гладка замкнута крива на площині, а $D$ — область, обмежена кривою $C$. Якщо функції $P=P(x,y)$, $Q=Q(x,y)$ визначені в області $D$ і мають неперервні часткові похідні $\frac{\partial P}{\partial y}$, $\frac{\partial Q}{\partial x}$, то

${\oint }_{C}Pdx+Qdy=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$

На символі інтеграла часто малюють коло, щоб підкреслити, що крива $C$ замкнена.

Доведення

Нехай область $D$ — криволінійна трапеція (область, правильна в напрямку $OY$):

$D=\{(x,y)|a\le x\le b,y_1(x)\le y\le y_2(x)\}$

Для кривої $C$, що обмежує область $D$, задамо напрямок обходу за годинниковою стрілкою.

Тоді:

$\underset{D}{\iint }\frac{\partial P}{\partial y}dxdy=\underset{a}{\overset{b}{\int }}dx\underset{y_1(x,y)}{\overset{y_2(x,y)}{\int }}\frac{\partial P}{\partial y}dy=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(P(x,y_2(x))-P(x,y_1(x)))dx=$

$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}P(x,y_2(x))dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}P(x,y_1(x))dx(1)$

Помітимо, що обидва одержані інтеграли можна замінити криволінійними інтегралами:

$\underset{C_1}{\int }P(x,y)dx=-\underset{-C_1}{\int }P(x,y)dx=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}P(x,y_1(x))dx(2)$

$\underset{C_3}{\int }P(x,y)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}P(x,y_2(x))dx(3)$

Інтеграл по $C_1$ береться зі знаком «мінус», оскільки, згідно з орієнтацією контуру, $C$ напрямок обходу даної частини — від $b$ до $a$.

Криволінійні інтеграли по $C_2$ і $C_4$ дорівнюватимуть нулю, оскільки $x=\mathrm{const}$:

$\underset{C_2}{\int }P(x,y)dx=0(4)$

$\underset{C_4}{\int }P(x,y)dx=0(5)$

Замінимо в (1) інтеграли згідно з (2) і (3), а також додамо (4) і (5), що рівні нулю і не впливають на значення виразу:

$\underset{D}{\iint }\frac{\partial P}{\partial y}dxdy=\underset{C_1}{\int }P(x,y)dx+\underset{C_3}{\int }P(x,y)dx+\underset{C_2}{\int }P(x,y)dx+\underset{C_4}{\int }P(x,y)dx$

Оскільки обхід за годинниковою стрілкою за правої орієнтації площини є від'ємним напрямком, то сума інтегралів в правій частині є криволінійним інтегралом по замкнутій кривій $C$ у від'ємному напрямку:

$\underset{D}{\iint }\frac{\partial P}{\partial y}dxdy=-\underset{C}{\int }P(x,y)dx(6)$

Аналогічно доводиться формула:

$\underset{D}{\iint }\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy=\underset{C}{\int }Q(x,y)dy(7)$

якщо за область $D$ взяти область, правильну в напрямку $OX$.

Віднімаючи (6) з (7), одержимо:

$\underset{C}{\int }Pdx+Qdy=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$

Зв'язок з формулою Остроградського

Розглядаючи двовимірне векторне поле, теорема Гріна рівнозначна двовимірному випадку формули Остроградського:

$\underset{D}{\iint }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)dA={\oint }_C𝐅\cdot \widehat{𝐧}ds,$

де $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ це дивергенція двовимірного векторного поля $𝐅$, а $\widehat{𝐧}$ це нормаль на границі, що вказує назовні.

Що побачити це, розглянемо одиничну нормаль $\widehat{𝐧}$ у правій частині рівності. Оскільки в теоремі Гріна $d𝐫=(dx,dy)$ це вектор напрямлений вздовж дотичної до кривої, і крива C додатно орієнтована (тобто проти годинникової стрілки) крива вздовж межі, зовнішня нормаль це вектор напрямлений 90° праворуч від цього; можна обрати $(dy,-dx)$. Цей вектор завдовжки $\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}=ds.$ Тому $(dy,-dx)=\widehat{𝐧}ds.$

Отже,

${\oint }_C(Ldx+Mdy)={\oint }_C(M,-L)\cdot (dy,-dx)={\oint }_C(M,-L)\cdot \widehat{𝐧}ds.$

Див. також

• Дискретна теорема Гріна

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр