Визначник Грама

Визначник Грама системи векторів e₁, e₂, ..., e_n в евклідовому просторі називається визначник матриці Грама цієї системи:

| \begin{matrix} ⟨ e_{1}, e_{1} ⟩ & ⟨ e_{1}, e_{2} ⟩ & \dots & ⟨ e_{1}, e_{n} ⟩ \\ ⟨ e_{2}, e_{1} ⟩ & ⟨ e_{2}, e_{2} ⟩ & \dots & ⟨ e_{2}, e_{n} ⟩ \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ ⟨ e_{n}, e_{1} ⟩ & ⟨ e_{n}, e_{2} ⟩ & \dots & ⟨ e_{n}, e_{n} ⟩ \end{matrix} |

де $⟨ e_{i}, e_{j} ⟩$ — скалярний добуток векторів e_i та e_j.

Матриця Грама виникає з наступної задачі лінійної алгебри:

нехай в евклідовому просторі V система векторів e₁, e₂, ..., e_n породжує підпростір U. Знаючи, чому дорівнюють скалярні добутки вектора x з U з кожним з цих векторів, знайти коефіцієнти розкладення вектора x по векторам e₁, e₂, ..., e_n.
Виходячи з розкладення x = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n отримаємо систему лінійних рівнянь з матрицею Грама:

{\begin{matrix} ⟨ 𝐞_{1}, 𝐞_{1} ⟩ x_{1} + ⟨ 𝐞_{1}, 𝐞_{2} ⟩ x_{2} + \dots + ⟨ 𝐞_{1}, 𝐞_{n} ⟩ x_{n} = ⟨ 𝐞_{1}, 𝐱 ⟩ \\ ⟨ 𝐞_{2}, 𝐞_{1} ⟩ x_{1} + ⟨ 𝐞_{2}, 𝐞_{2} ⟩ x_{2} + \dots + ⟨ 𝐞_{2}, 𝐞_{n} ⟩ x_{n} = ⟨ 𝐞_{2}, 𝐱 ⟩ \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ ⟨ 𝐞_{n}, 𝐞_{1} ⟩ x_{1} + ⟨ 𝐞_{n}, 𝐞_{2} ⟩ x_{2} + \dots + ⟨ 𝐞_{n}, 𝐞_{n} ⟩ x_{n} = ⟨ 𝐞_{n}, 𝐱 ⟩ \end{matrix}

Ця задача має єдиний розв'язок тоді і тільки тоді, коли вектори e₁, e₂, ..., e_n лінійно незалежні. Через це рівність нулю визначника Грама системи векторів — критерій їх лінійної залежності.

Геометрична інтерпретація визначника Грама

Визначник Грама системи векторів дорівнює квадрату об'єму паралелограма натягнутого на ці вектори.

Див. також

Нерівність Адамара — обмеження зверху для визначника Грама.

Джерела

Визначник Грама

Геометрична інтерпретація визначника Грама

Див. також

Джерела

Навігаційне меню

Пошук