Параметричне рівняння

Приклад кривої, визначеної параметричними рівняннями — крива метелик.

Параметричні рівняння — метод представлення математичних функцій через параметри. Простий кінематичний приклад, коли час використовується як параметр для задання позиції, швидкості та іншої інформації про тіло в русі.

Параметричне представлення функції

Припустимо, що функціональна залежність y від x не задана прямо y = f(x), а через проміжну величину — t. Тоді формули

$x=\phi (t);$  $y=\psi (t)$

задають параметричні рівняння для функції однієї змінної.

Якщо припустити, що обидві ці функції $\phi$ і $\psi$ мають похідні і для $\phi$ існує обернена функція θ, явне представлення функції має вигляд:

$y=\psi (\theta (x))=f(x)$

і похідна функції може бути обрахована як

$y^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{y{\text{'}}_t}{x{\text{'}}_t}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\varphi }^{\prime }(t)}$

2D-приклади

Парабола

Тривіальний приклад, рівняння параболи:

$y=x^2$

може бути параметризоване із використанням параметра t таким чином

$x=t$

$y=t^2.$

Коло

Для кола радіуса a:

$x=a\cos (t)$

$y=a\sin (t).$

3D-приклади

Гвинтова лінія

Параметризована гвинтова лінія

Параметричні рівняння зручні для опису кривих і в багатовимірних просторах. Наприклад:

$x=a\cos (t)$

$y=a\sin (t)$

$z=bt$

описує тривимірну криву, гвинтова лінія, яка має радіус a і підіймається на 2πb за оберт.

Подібні вирази також записуються як

$r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(a\cos (t),a\sin (t),bt).$

Корисність

Такий спосіб представлення є практичним і ефективним; наприклад, можна інтегрувати і брати похідну почленно. Таким чином, швидкість точки, що рухається згідно з цими рівняннями може бути представлена як:

$v(t)=r^{\prime }(t)=(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t))=(-a\sin (t),a\cos (t),b)$

і прискорення:

$a(t)=r^{″}(t)=(x^{″}(t),y^{″}(t),z^{″}(t))=(-a\cos (t),-a\sin (t),0)$

Загалом, параметризована крива є функцією від одного параметра (зазвичай t). Для відповідного випадку із двома і більше параметрами, дивись параметрична поверхня.