Факторіальне кільце

Шаблон:Не плутати Шаблон:Алгебричні структури Факторіа́льне кільце́ — область цілісності $R$, в якій кожен необоротний елемент $a$ представляється у вигляді добутку незвідних елементів $a=p_1\cdot \dots \cdot p_n(n\ge 1)$, причому даний розклад єдиний в тому сенсі, що якщо $p_1\cdot \dots \cdot p_n=q_1\cdot \dots \cdot q_m,$ то $m=n,$ і після перенумерації маємо $p_i=u_i{q}_i$ для всіх $i$, де $u_i$ — оборотний елемент кільця $R$ (такі елементи називаються асоційованими). Самі елементи $p_i$ можуть бути теж асоційованими і навіть рівними.

Приклади

• Будь-яке кільце головних ідеалів, зокрема Евклідове кільце, є факторіальним кільцем. Зокрема, таким прикладом є кільце цілих чисел.
• Довільне поле є, очевидно, факторіальним кільцем, оскільки в ньому немає необоротних елементів.
• Формальні степеневі ряди $K[[X_1,\dots ,X_n]]$ над полем $K$ утворюють факторіальне кільце.
• Кільце $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ всіх комплексних чисел виду $a+ib\sqrt{5}$, де a і b — цілі числа, не є факторіальним. Наприклад $6=2\cdot 3=(1+i\sqrt{5})(1-i\sqrt{5})$. Числа 2, 3, $1+i\sqrt{5}$, і $1-i\sqrt{5}$ не є асоційовані і є незвідними.
• Згідно теореми Аусландера — Бухсбаума, кожне регулярне локальне кільце є факторіальним.

Властивості

• Довільний незвідний елемент факторіального кільця є простим.

Нехай $p$ — незвідний елемент факторіального кільця $D$. Тоді $p$ є необоротним. Якщо $ab\in (p)\setminus \{0\}$, тоді $ab=cp,$ де $c\in D$. Елементи $a,b,c$ можна записати як добутки незвідних елементів:

$a=p_1\cdots p_l,b=q_1\cdots q_m,c=r_1\cdots r_n.$

Тоді $p_1\cdots p_l{q}_1\cdots q_m=r_1\cdots r_{n}p.$

Оскільки $D$ є факторіальним кільцем то кожен елемент у добутку справа є рівним добутку одного із $l+m$ незвідних елементів з лівої сторони, тобто $p_i$ або $q_j$ і оборотного елемента. Відповідно або $a\in (p)$ або $b\in (p)$. Тобто $(p)$ є простим ідеалом $D$ і $p$ є простим елементом.

• Якщо R є факторіальним кільцем, то і кільце многочленів R[x] є факторіальним. Звідси випливає, що і кільце R[x₁...x_n] є факторіальним.
• Кільце R є факторіальним тоді і тільки тоді коли довільний його простий ідеал містить простий елемент.
• Якщо у області цілісності $D$ існує множина простих елементів $a_i,i\in E,$ таких, що кожен елемент із $D$ є добутком деяких елементів $a_i$ і оборотного елемента, то $D$ є факторіальним кільцем.

Оскільки $D$ є областю цілісності, то всі $a_i$ є незвідними елементами і кожен незвідний елемент із $D$ є добутком якогось одного елемента $a_i$ і оборотного елемента. З умови кожен елемент $D$ є добутком незвідних елементів. Якщо $p_1\dots p_n=q_1\dots q_m,$ то кожен з $p_j$ є добутком якогось із $a_i$ і оборотного елемента. Оскільки $a_i$ є простим елементом, що ділить добуток, то $a_i$ ділить якийсь із $q_k.$ Але $q_k=a_{m}u,$ де $u$ — оборотний елемент. Тому $a_i$ ділить $a_m.$ Також $a_{m}u=q_k=a_{i}c,$ і тому також $a_m$ ділить $a_i$ ($a_m$ є простим і має ділити $a_i$ або $c$, в останньому випадку $a_i$ був би оборотним, що неможливо). Тому $a_i$ і $a_m$, а тому $p_j$ і $q_k$ відрізняються лише добутком на оборотний елемент. Скорочуючи і продовжуючи процес отримуємо, що $D$ є факторіальним кільцем.

• Локалізація факторіального кільця по довільній мультиплікативній системі є факторіальним кільцем.

Нехай $a\in D$ — незвідний елемент факторіального кільця. Якщо $aD\cap S=\mathrm{\varnothing },$ то $a{S}^{-1}D$ є простим ідеалом у $S^{-1}D,$ а тому $a/1\in S^{-1}D$ є простим елементом. Із попереднього достатньо довести, що кожен ненульовий елемент $S^{-1}D,$ є добутком таких елементів і оборотного елемента.

Спершу зауважимо, що якщо $aD\cap S\ne \mathrm{\varnothing },$ то $a/1\in S^{-1}D$ є оборотним елементом. Якщо $ad=t\in S,$ то оберненим елементом буде $d/t.$

Нехай $b/s\in S^{-1}D.$ Якщо $b=a_1\dots a_n$ є розкладом b у добуток незвідних елементів, то $b/1=a_1/1\dots a_n/1$ є розкладом b/1 у добуток незвідних і оборотних елементів.

Тоді $b/s=a_1/1\dots a_n/1\cdot 1/s$ дає необхідний результат оскільки 1/s є оборотним елементом.

• Теорема Нагати. Нехай $D$ є областю цілісності, $a_i,i\in E$ — деяка множина простих елементів і S — мультиплікативна множина елементами якої є скінченні добутки скінченних кількостей елементів $a_i$(добуток пустої множини вважається рівним 1). Нехай $a_i$ задовольняють умову: для кожного елемента $b\in D$ існують $s\in S,b^{\prime }\in D$ для яких b = sb' і b' не належить жодному із головних ідеалів $(a_i).$ Тоді якщо локалізація $S^{-1}D$ то і $D$ є факторіальним кільцем. Вказана умова, зокрема, виконується для всіх нетерових кілець або кілець всі ненульові елементи яких є добутками незвідних елементів.

Некомутативний випадок

Хоч термін «Факторіальне кільце» використовується переважно для комутативних кілець, подане вище означення можна узагальнити для некомутативного випадку.

Нехай R — деяке кільце, що не має дільників нуля. Дане кільце називається факторіальним, якщо довільний необоротний елемент a представляється у вигляді добутку незвідних елементів a=p₁·...·p_n (n≥1) причому даний розклад єдиний в тому сенсі, що якщо p₁·...·p_n=q₁·...·q_m, то m=n і після перенумерації маємо, що фактор-кільця $R/p_{i}R$ і $R/q_{i}R$ є ізоморфними.

Приклад

Множина кватерніонів a = a₀ + a₁i + a₂j + a₃k, де a₀, a₁, a₂, a₃ — цілі числа або непарні цілі числа поділені на 2 є некомутативним факторіальним кільцем.

Джерела

• Шаблон:Ван.дер.Варден.Алгебра
• Шаблон:Зарисский.Самюэль.Коммутативная алгебра.том1
• Шаблон:Ленг.Алгебра
• Шаблон:Бондаренко.Теорія кілець
• Шаблон:Cite book
• David Sharpe (1987). Rings and factorization. Cambridge University Press. ISBN 0-521-33718-6.
• R. Sivaramakrishnan (2006). Certain number-theoretic episodes in algebra. CRC Press. ISBN 0-8247-5895-1