Фактор-кільце

Матеріал з testwiki
Версія від 10:26, 4 квітня 2024, створена imported>Entry1337 (→growthexperiments-addlink-summary-summary:3|0|0)
(різн.) ← Попередня версія | Поточна версія (різн.) | Новіша версія → (різн.)
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Шаблон:Не плутати В абстрактній алгебрі фактор-кільце — кільце класів еквівалентності, що будується з деякого кільця R за допомогою деякого його ідеалу I. Позначається R/I.

Визначення

Нехай R — кільце, а I — деякий його (двосторонній) ідеал. На R можна задати відношення еквівалентності ∼:

a∼b тоді і тільки тоді, коли b−a∈I.

Оскільки за означенням ідеал є підгрупою адитивної групи кільця:

  • Тоді a−a=0∈I тобто a∼a.
  • Якщо b−a∈I то також a−b=−(b−a)∈I, тобто з a∼b випливає b∼a.
  • Якщо b−a∈I та c−b∈I то також c−a=(c−b)+(b−a)∈I, тобто з a∼b та b∼c випливає a∼c.

Отже відношення a∼b є рефлексивним, симетричним і транзитивним, отже є відношенням еквівалентності.

Нехай

[a]=a+I={a+r:r∈I}

позначає клас еквівалентності елемента a. Множина класів еквівалентності введеного відношення позначається R/I.

На даній множині можна ввести операції додавання і множення:

[a]+[b]=(a+I)+(b+I)=(a+b)+I=[a+b]
[a]⋅[b]=(a+I)⋅(b+I)=a⋅b+I=[a⋅b]

Дані визначення є несуперечливими, тобто не залежать від вибору представників класу. Дійсно нехай a+I=a1+I та b+I=b1+I. Тоді a−a1=i∈I та b−b1=j∈I. Звідси a+b=a1+b1+i+j та ab=(a1+i)(b1+j)=a1b1+ib1+a1j+ij. Оскільки i+j,ib1,a1j,ij∈I одержується a+b+I=a1+b1+i+j+I та ab+I=a1b1+I, що доводить несуперечливість визначення.

Множина визначених класів еквівалентності з визначеними операціями множення і додавання називається фактор-кільцем кільця R за ідеалом I.

Приклади

  • Найпростіші приклади фактор-кілець одержуються за допомогою ідеалів {0} і самого кільця R. R/{0} є ізоморфним до R, а R/R є тривіальним кільцем {0}.
  • Нехай ℤ — кільце цілих чисел, а 2ℤ— кільце парних чисел. Тоді фактор-кільце ℤ/2ℤ має лише два елементи, що відповідають множинам парних і непарних чисел. Дане фактор-кільце є ізоморфним полю з двома елементами, 𝔽2. Більш загально можна розглянути фактор-кільце ℤ/nℤ, що є ізоморфним кільцю лишків за модулем n.
  • Нехай ℝ[x] кільце многочленів від змінної X з дійсними коефіцієнтами, і ідеал I=(X2+1) складається з усіх добутків многочлена X2+1 на інші многочлени. Фактор-кільце ℝ[x]/(X2+1) є ізоморфним полю комплексних чисел ℂ, і клас еквівалентності [X] відповідає уявній одиниці i.

Властивості

  • Якщо R — комутативне кільце то кільце R/I теж є комутативним. Обернене твердження невірне.
  • Теорема про гомоморфізм кілець:
Якщо f — епіморфізм (сюр'єктивний гомоморфізм) кільця K на кільце R, то ядро ker⁡f є ідеалом кільця K, причому кільце R ізоморфне фактор-кільцю K/ker⁡f.
Навпаки: якщо J — ідеал кільця K, то відображення f:K→K/J, визначене умовою f(a)=a+J,∀a∈K є гомоморфізмом кільця J на K/J з ядром J.
  • Ідеал J кільця K є простим (максимальним) в тому і лише у тому випадку, коли фактор-кільце K/J є областю цілісності(полем).
  • Між ідеалами кілець R і  R/I існує тісний зв'язок. А саме ідеали  R/I знаходяться у взаємно однозначній відповідності із ідеалами кільця R, що містять ідеал  I як підмножину. Якщо  I⊂J такий ідеал кільця R йому ставиться у відповідність ідеал  J/I кільця  R/I. До того ж фактор-кільця  R/J і  (R/I)/(J/I) є ізоморфними через природний гомоморфізм h: R/J→(R/I)/(J/I), для якого h(a+J)=(a+I)+J/I.

Див. також

Посилання

Джерела

Українською

Іншими мовами

Отримано з https://uk.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Фактор-кільце&oldid=3112