Простий ідеал

В абстрактній алгебрі простий ідеал — ідеал кільця, властивості якого схожі з властивостями простих чисел. Окрім теорії кілець поняття також часто використовується у алгебраїчній геометрії, де прості ідеали многочленів визначають афінні многовиди.

Узагальненням поняття простого ідеала є примарний ідеал.

Визначення

Ідеал $P$ кільця $R$ називається простим, якщо $P⊊R$ і якщо з того, що добуток $AB$ двох ідеалів $A,B\subset R$ міститься в $P$, то принаймні один з ідеалів $A$ або $B$ міститься в $P$.

У загальному некомутативному кільці це еквівалентно наступному означенню:

Ідеал називається простим якщо виконуються умови:

• якщо $a,b\in R$ такі, що для всіх $r\in R$, їх добуток $arb$ належить $P$, тоді $a\in P$ або $b\in P$.
• $P$ не рівне кільцю $R$.

У комутативному кільці ідеал називається простим, якщо для деяких двох елементів $a,b\in A$ з того, що $ab\in 𝔞$, випливає що $a\in 𝔞$ або $b\in 𝔞$. Якщо ця властивість виконується для некомутативного кільця його називають цілком простим.

Замітка. Іноді термін простий ідеал використовується лише для комутативних кілець. У некомутативному випадку при цьому використовується термін первинний ідеал.

Властивості

• Прообраз простого ідеалу при гомоморфізмі комутативних кілець є простим ідеалом.
• Ідеал $𝔞$ у комутативному кільці є простим, якщо елементи доповнення до нього утворюють мультиплікативну систему.
  • Підмножина кільця називається мультиплікативною системою, якщо вона замкнута відносно операції множення.
• Теорема віддільності: Нехай в комутативному кільці $A$ з одиницею заданий ідеал $𝔞$, що не перетинається з мультиплікативною системою $S_0$. Тоді існує простий ідеал $𝔭$, що містить $𝔞$ і не перетинається з системою $S_0$.
  • Доведення використовує один з варіантів леми Цорна. Множина всіх ідеалів кільця A, що містять $𝔞$ і не перетинаються з системою $S_0$ є непорожньою (вона містить ідеал $𝔞$), і відношення теоретико-множинного включення задає на ньому індуктивний порядок. За лемою Цорна ця множина містить максимальний елемент — деякий ідеал $𝔭$. Припущення про його непростоту приводить до суперечності з його максимальністю.
• Теорема про радикал: Перетин всіх простих ідеалів, що містять ідеал $𝔞$, збігається з радикалом ідеалу $𝔞$ (тобто множиною $\sqrt{𝔞}=\{f\in A:\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}{f}^n\in 𝔞\}$)
  • Нехай $𝔭$ — простий ідеал, що містить $𝔞$. Якщо елемент f належить радикалу $\sqrt{𝔞}$, значить деякий його степінь належить ідеалу $𝔞\subset 𝔭$, відповідно f не може належати доповненню до $𝔭$, оскільки це доповнення — мультиплікативна система (якщо воно містить f, то містить і всі його степені). Значить f необхідно належить всім простим ідеалам, що містять ідеал $𝔞$.
    Навпаки: нехай f не належить радикалу $\sqrt{𝔞}$. Тоді множина всіх його степенів — мультиплікативна система, що не перетинає $𝔞$. За попередньою теоремою існує простий ідеал, що містить $𝔞$ і що не містить жоден із степенів елементу f. Значить f не належить усім простим ідеалам, що містять ідеал $𝔞$.

Приклади

• Нехай R — кільце C[X, Y] многочленів від двох змінних, з комплексними коефіцієнтами. Тоді ідеал породжений многочленом Y² − X³ − X − 1 є простим.
• У довільному кільці з одиницею довільний максимальний ідеал є простим.

Нехай $𝔪$ максимальний ідеал кільця $R$ і припустимо $R$ має ідеали $𝔞$ і $𝔟$ і $𝔞𝔟\subseteq 𝔪$, але $𝔞⊈𝔪$. Оскільки $𝔪$ є максимальним, маємо $𝔞+𝔪=R$. Тоді,

$𝔟=R𝔟=(𝔞+𝔪)𝔟=𝔞𝔟+𝔪𝔟\subseteq 𝔪+𝔪=𝔪.$

Тому $𝔞\subseteq 𝔪$ або $𝔟\subseteq 𝔪$, тобто ідеал є простим.

Література

Українською

• Шаблон:Ref-uk Шаблон:Книга

Іншими мовами

• Шаблон:Ван.дер.Варден.Алгебра
• Шаблон:Винберг.Курс алгебры

Посилання

• Characterization of prime ideals на сайті PlanetMath.