Підгрупа

Шаблон:Теорія груп Підгрупою групи G називається підмножина $H$ групи $G$, що сама є групою щодо операції, визначеної в $G$.

Підмножина $H$ групи $G$ є її підгрупою тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє такі умови:

1. містить добуток будь-яких двох елементів з $H$,
2. містить разом зі всяким своїм елементом $h$ обернений до нього елемент $h^{-1}$.

У разі скінченних і періодичних груп перевірка умови 2 є зайвою.

Еквівалентно $H$ є підгрупою, якщо виконується умова:

$\mathrm{\forall }(x,y)\in H^2,x*y^{-1}\in H$

Приклади

• Підмножина групи $G$, що складається з одного елементу $1$, буде, очевидно, підгрупою, і ця підгрупа називається одиничною підгрупою групи $G$.
• Сама $G$ також є своєю підгрупою.
• Нехай G абелева група елементами якої є

$G=\{0,2,4,6,1,3,5,7\}$

і груповою операцією є додавання за модулем 8. Її таблиця Келі має вигляд:

+	0	2	4	6	1	3	5	7
0	0	2	4	6	1	3	5	7
2	2	4	6	0	3	5	7	1
4	4	6	0	2	5	7	1	3
6	6	0	2	4	7	1	3	5
1	1	3	5	7	2	4	6	0
3	3	5	7	1	4	6	0	2
5	5	7	1	3	6	0	2	4
7	7	1	3	5	0	2	4	6

Ця група має дві власні підгрупи: J={0,4} і H={0,2,4,6}, де J є також підгрупою H. Таблиця Келі H є верхньою лівою чвертю таблиці Келі групи G. Група G є циклічною, як і її підгрупи.

Пов'язані визначення

• Сама група $G$ і одинична підгрупа називається невласними підгрупами групи G, всі інші підгрупи H власними.
• Перетин всіх підгруп групи $G$, що містять всі елементи деякої непорожньої множини $M$, називається підгрупою, породженою множиною $M$, і позначається $<M>$.
• Якщо $M$ складається з одного елемента $a$, то $<a>$ називається циклічною підгрупою елемента $a$.
• Якщо група $G_1$ ізоморфна деякій підгрупі $H$ групи $G$, то кажуть, що група $G_1$ може бути вкладена в групу $G$.

Властивості

• Теоретико-множинний перетин будь-яких двох підгруп групи $G$ є підгрупою групи $G$.
• Теоретико-множинне об'єднання підгруп, взагалі кажучи, не зобов'язане бути підгрупою. Об'єднанням підгруп $H$ і $K$ називається підгрупа, породжена об'єднанням множин $H\cup K$.
• Нехай $f:G\to G^{\prime }$ — гомоморфізм груп. Тоді якщо $H$ є підгрупою $G$, то $f(H)$ є підгрупою $G^{\prime }$. Якщо $H^{\prime }$ є підгрупою $G^{\prime }$, то $f^{-1}(H^{\prime })$ є підгрупою $G$.
• Якщо дані дві групи і кожна з них ізоморфна деякій власній підгрупі іншої, то звідси ще не слідує ізоморфізм самих цих груп.

Див. також

• Підструктура (математика)
• Теорема Лагранжа (теорія груп)
• Нормальна підгрупа
• Характеристична підгрупа
• Центр групи
• Теорема Хайоша

Джерела

Українською

• Шаблон:Ref-uk Шаблон:Книга

Іншими мовами

• Шаблон:Курош.Теорія груп
• Шаблон:Ленг.Алгебра
• Шаблон:Вінберг.Курс алгебри
• Шаблон:Rotman.An Introduction to the Theory of Groups