Тіло (алгебра)

Шаблон:Redirect Шаблон:Алгебричні структури Тіло — алгебрична структура, всі елементи якої утворюють абелеву групу щодо дії додавання, а всі елементи, крім нуля,— мультиплікативну групу і, крім того, обидві групові операції зв'язані між собою законами дистрибутивності. Якщо множення в тілі комутативне, то тіло називається комутативним або полем.

Формальне визначення

Множина $K$ з заданими на ній алгебраїчними операціями додавання і множення називається тілом, якщо виконуються умови:

$a + b = b + a$ (комутативність додавання);
$(a + b) + c = a + (b + c)$ і $(a b) c = a (b c)$ (асоціативність множення);
Існують такі елементи $0, 1 \in K$ , що для довільного $a \in K$ виконується $a + 0 = 0 + a = a 1 = 1 a = a$ (існування нейтральних елементів);
$a (b + c) = a b + a c$ і $(a + b) c = a c + b c$ (дистрибутивність);
Для довільного $x \in K$ існують $y, z \in K$ , такі, що $y + x = x + y = 0$ і $z x = x z = 1$ ( існування зворотного елемента).

Остання умова виділяє тіло як особливу структуру серед кілець — тіло є кільцем із діленням.

Теорема Веддерберна — довільне скінченне тіло є скінченним полем.
Кожне тіло є алгеброю з діленням над своїм центром. Зокрема тіло є центральною простою алгеброю над своїм центром.
Якщо S є простим модулем над кільцем R, то множина всіх ендоморфізмів S є тілом. Довільне тіло можна задати в такий спосіб за допомогою деякого простого модуля